Differentialgleichung aufstellen aus Textaufgabe (Wachstum)

11.07.2017, 12:53

TheWeeMan

Differentialgleichung aufstellen aus Textaufgabe (Wachstum)

Meine Frage:
Guten Tag liebe Community,
mal wieder habe ich ein Problem in der Mathematik. Ich lag die letzte Woche flach und kann mir gerade keine Reim aus den Mitschriften meines Kommilitionens machen.
Wie in der Frage schon "beschrieben" geht es um das Aufstellen einer Differenzialgleichung mit den Informationen aus einer Textaufgabe.

"Wachstum mit Überbevölkerungshemmung: Die Anzahl n(t) einer Individuenart wächst einerseits mit einer Geschwindigkeit proportional zur Anzahl n(t), nimmt jedoch gleichzeitig proportional zum Quadrat der Anzahl ab."

Es wäre schön, wenn ich ein paar Hilfestellungen bekommen könnte!

Meine Ideen:
Grundlegen habe ich mir erstmal überlegt, welches Wachstum bzw. welcher Zerfall vorliegt.
Das Wachstum, glaube ich, ist ein lineares Wachstum welches ich an sich mit
$\begin{eqnarray*} n'\left(t\right)= t*k+n\left(t\right) \end{eqnarray*}$ beschreiben kann.
Die Sterberate ist eine quadratische Abnahme des Bestandes, somit gilt $\begin{eqnarray*} n'\left(t\right)=n\left(t\right)*t^{2} \end{eqnarray*}$ .
Hierbei muss aber beachtet werden, dass das quadratische Wachstum vom linearen Wachstum abgezogen wird.
Ich bin mir aber unsicher, ob es überhaupt stimmt was ich vermute in dem ganzen zusammenhang.
also wäre meine fertige Dgl. $\begin{eqnarray*} n'\left(t\right)=t*k+n\left(t\right)-n\left(t\right)*t^{2} \end{eqnarray*}$

11.07.2017, 13:16

klarsoweit

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RE: Differenzialgleichung aufstellen aus Textaufgabe (Wachstum)

Zitat:

Original von TheWeeMan
Das Wachstum, glaube ich, ist ein lineares Wachstum welches ich an sich mit
$\begin{eqnarray*} n'\left(t\right)= t*k+n\left(t\right) \end{eqnarray*}$ beschreiben kann.

Nun ja, das Wachstum ist nicht irgendwie linear, sondern proportional zur Anzahl n(t). Insofern ist eher $\begin{eqnarray*} n'(t) = k \cdot n(t) \end{eqnarray*}$ die korrekte Gleichung.

11.07.2017, 14:31

TheWeeMan

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danke für die verbesserung! aber wäre der rest so richtig? also bis auf die tatsache das ich das lineare wachstum durch n'(t)=k*n(t) ersetzen muss?

11.07.2017, 15:45

klarsoweit

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RE: Differenzialgleichung aufstellen aus Textaufgabe (Wachstum)

Zitat:

Original von TheWeeMan
Die Sterberate ist eine quadratische Abnahme des Bestandes, somit gilt $\begin{eqnarray*} n'\left(t\right)=n\left(t\right)*t^{2} \end{eqnarray*}$ .

Upps, das hätte ich ja auch gleich korrigieren können. unglücklich

Eine zum Quadrat der Anzahl proportionale Abnahme müßte anders aussehen. (In deiner Formel steht nichts vom Quadrat der Anzahl.)

11.07.2017, 18:41

TheWeeMan

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also muss ich in dem Fall n(t) zum Quadrat nehmen und die Zeit t als einfache Variable stehen lassen?Tut mir leid, dass ich mich so doof anstellen!

$\begin{eqnarray*} n(t)= k*n-n^{2}*t \end{eqnarray*}$

mit n=Individuenzahl;
t=Zeit;
k=Wachstumskonstante/Zerfallskonstante

12.07.2017, 08:40

klarsoweit

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Eine Abnahme der Form -n²(t) * t würde bedeuten, daß die Abnahme auch abhängig vom Zeitverlauf ist. Davon steht aber nichts in der Aufgabe. Mache also aus dem t eine weitere Konstante.

12.07.2017, 09:09

TheWeeMan

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alles klar! ich glaube und hoffe ich habe es verstanden!

$\begin{eqnarray*} n\left(t\right)=k*n-n^{2}*k \end{eqnarray*}$

Wenn es jetzt richtig ist, bedanke ich mich (auch wenn es falsch sein sollte) für deine Gedult und Hilfe!!

Dann wünsche ich dir noch einen schönen Tag smile

12.07.2017, 09:22

HAL 9000

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Es gibt keinen vernünftigen Grund, warum die beiden k gleich sein sollen, richtig wäre also eher $\begin{align*} n' = k_1\cdot n - k_2\cdot n^2 \end{align*}$ .

12.07.2017, 12:35

Ehos

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Gemeint ist wohl das sog. logistische Wachstum (Siehe WIKIPEDIA), welches in der Natur oft vorkommt. Dabei sind 2 Zusammenhänge zu beachten:

Erstens:
Der zeitliche Zuwachs $\begin{eqnarray*} \tfrac{dn}{dt} \end{eqnarray*}$ der Individuen ist proportional zu deren Anzahl n, also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dn}{dt} = C_1 n \end{eqnarray*}$

Zweitens:
Wegen der Begrenztheit der Ressoursen (z.B. Platz, Nahrung) existiert für die Population eine obere Grenze G, weshalb der Zuwachs $\begin{eqnarray*} \tfrac{dn}{dt} \end{eqnarray*}$ ebenfalls proportional zur Differenz G-n ist, also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dn}{dt} = C_2 (G-n) \end{eqnarray*}$

Wenn man beide Proportionalitäten kombiniert, kommt man auf die "gemischte" Proportionalität

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dn}{dt} = C_1n\cdot C_2 (G-n) \end{eqnarray*}$

Wenn man dies ausmultipliziert, kommt man nach Umbenennung der Konstanten $\begin{eqnarray*} C_1, C_2, G \end{eqnarray*}$ auf die Gleichung, die HAL 9000 genannt hat.

12.07.2017, 13:32

mYthos

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Hierboards schon oft besprochen, die Suche bringt's!

--> https://www.matheboard.de/thread.php?pos...186#post2080186

--> logistisches Wachstum

und noch andere diesbezügliche Beiträge ...

mY+

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