Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen

11.07.2017, 14:35

GE_Student

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen

Meine Frage:
Entscheiden Sie bei den folgenden Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g,h : \mathbb R ^{2} / \left(0,0\right) -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
jeweils, ob es eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2}/ \left(0,0\right) \end{eqnarray*}$ mit f,g, bzw. mit h übereinstimmt.

$\begin{eqnarray*} f (x,y) := \frac{cos(x^{2} + y^{2} )}{x^{2} + y^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher was es bedeutet eine übereinstimmende Funktion zu finden.

Ich weiß, dass f als Summe, Quotient und Verkettung von stetigen Funktionen selbst stetig ist.

Was ist die Idee dahinter "übereinstimmende" Funktionen zu finden, worauf bezieht sich dies?

11.07.2017, 14:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zu findende Funktion muss ja auch im Punkt $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ definiert sein, was bei deinen Ausgangsfunktionen $\begin{align*} f,g,h \end{align*}$ ja nicht der Fall ist. Das allein wäre noch kein Problem, man könnte ja den Funktionswert da irgendwie festlegen. Der Haken ist, dass er so festgelegt werden soll, dass die Funktion dort dann auch noch stetig ist - und das ist nicht immer möglich, manchmal schon - das ist von Fall zu Fall zu entscheiden.

Bei $\begin{align*} f(x,y) := \frac{\cos\left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2} \end{align*}$ etwa ist es nicht möglich - warum?

11.07.2017, 15:09

GE_Student

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zum Verständnis: Es ist eine Funktion gesucht die auf ganz R^2 stetig ist und zusätzlich auf R^2\ (0,0) die gleichen Funktionswerte wie f aufweist?

11.07.2017, 15:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, so steht es da.

11.07.2017, 15:31

GE_Student

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es richtig verstehe muss gelten :

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) \end{eqnarray*}$

damit die gesuchte Funktion an der Stelle (0,0) stetig ist.

Gleichzeitig sollen aber alle anderen Funktionswerte übereinstimmen, jedoch weiß ich nicht wie ich zeigen soll, dass dies nicht möglich ist.

Wie geht man an sowas ran?

11.07.2017, 15:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von GE_Student
Wenn ich es richtig verstehe muss gelten :

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) \end{eqnarray*}$

damit die gesuchte Funktion an der Stelle (0,0) stetig ist.

Nein: $\begin{align*} f \end{align*}$ ist an der Stelle (0,0) ja gar nicht definiert, also gibt es gar kein $\begin{align*} f(0,0) \end{align*}$ . unglücklich

So wird ein Schuh draus: Es ist zu entscheiden, ob $\begin{align*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=:g \end{align*}$ existiert! Falls ja, dann legen wir

$\begin{align*} \tilde{f}(x,y) := \begin{cases} g & \;\mbox{für}\; (x,y)=(0,0)\\ f(x,y) &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

fest und haben dann eine solche Funktion gefunden, wie sie in der Aufgabenstellung gesucht ist. Existiert der Grenzwert $\begin{align*} g \end{align*}$ hingegen nicht, dann gibt es kein solches stetiges $\begin{align*} \tilde{f} \end{align*}$ .

11.07.2017, 15:58

GE_Student

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, mit f meinte ich ein f*, also die zu bestimmende Funktion. Dass f an (0,0) nicht definiert ist, ist mir klar Augenzwinkern

An eine abschnittsweise Definition habe ich gar nicht gedacht, hab es mir wohl zu kompliziert gemacht.

Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe smile

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \infty \end{eqnarray*}$

11.07.2017, 16:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von GE_Student
Entschuldige, mit f meinte ich ein f*, also die zu bestimmende Funktion. Dass f an (0,0) nicht definiert ist, ist mir klar Augenzwinkern

Man muss auch schreiben, was man meint. Und wenn es ein f gibt, und man f schreibt, dann wird das auch so gelesen. Der Grat zwischen "nur Schreibfehler" und "Problem nicht verstanden" ist hier äußerst schmal. Augenzwinkern

11.07.2017, 21:12

GE_Student

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der nächsten Funktion wirds schon spannender.

$\begin{eqnarray*} h (x,y) := \frac{p(x^{2} + y^{2} }{x^{2} + y^{2}} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion auf R->R ist und $\begin{eqnarray*} |p(r)| \leq 2|r|^{2} \end{eqnarray*}$ erfüllt $\begin{eqnarray*} \forall r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Damit habe ich g nach oben abgeschätzt mit

$\begin{eqnarray*} g(x,y) \leq \frac{2|x^{2}+y^{2}|^{2} }{x^{2}+y^{2}} = \frac{2(x^{2}+y^{2})^{2} }{x^{2}+y^{2}} = 2(x^{2}+y^{2}) \end{eqnarray*}$

und den Grenzwert betrachtet :

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} 2(x^{2}+y^{2}) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Wobei wäre ein "=" hier falsch?

Als g* würde ich dementsprechend folgendes vorschlagen :

$\begin{align*} g*(x,y) := \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; (x,y)=(0,0)\\ g(x,y) &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

Das mit dem "kleiner-gleich" verwirrt mich noch etwas, hab ich deswegen einen Denkfehler drinnen?

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen

Verwandte Themen