Unterraum von R^3x3 Körper?

11.07.2017, 15:15	Mathlete1	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum von R^3x3 Körper? Meine Frage: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Element GL_3(R) und M={X Element R^3x3\| AXA^(-1) = X}. Untersuchen Sie ob M, ein Körper bzgl. Matrixaddition und Matrixmultiplikation ist Meine Ideen: Ich weiß bereits, dass M ein Unterraum und ein Ring ist, wenn X bijektiv ist. Ich vermute aber das M kein Körper ist und wollte mit der Kommutativität ein Gegenbeispiel zeigen. Nur leider komme ich auf überhaupt keine Matrizen bei denen AXA^(-1) = X gilt außer die Null-, Einheitsmatrix und A selbst. Ich freue mich über jede Hilfe
11.07.2017, 15:41	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist vielleicht leichter, ein Beispiel für eine nicht invertierbare Matrix in $\begin{align} M \end{align}$ zu finden. Man kann relativ leicht zeigen, dass $\begin{align} A \end{align}$ diagonalisierbar ist. Also gibt es eine invertierbare Matrix $\begin{align} S \end{align}$ und eine Diagonalmatrix $\begin{align} D \end{align}$ mit $\begin{align} A = SDS^{-1} \end{align}$ . Nun kannst du zeigen, dass für jede Diagonalmatrix $\begin{align} T \end{align}$ gilt, dass $\begin{align} STS^{-1}\in M \end{align}$ . Unter diesen solltest du leicht eine finden, die nicht invertierbar ist. Vielleicht geht es aber auch anders ganz einfach, ich hab da bei Algebra nicht so den Blück für.
11.07.2017, 17:30	Mathlete1	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, danke für dein Antwort Leider haben wir noch keine Diagonalmatrizen kennengelernt, deshalb darf ich sie in meinem Beweis nicht benutzen Aber mir ist gerade aufgefallen, dass X ja aus R^3X3 ist und nicht aus GL_3(R), deshalb muss es ja auch eine Matrix aus R^3x3 geben, bei der die Definition von M zutrifft und deshalb kann es keine Inverses von X geben und somit ist es auch kein Körper. Aber denkst du, dass das reicht? Weil ich wirklich keine Ahnung hab wie ich zufällig auf so eine Matrix kommen soll.. ich hab schon ziemlich viel rumprobiert, aber es kommt immer etwas anderes raus
11.07.2017, 19:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn A und E im Vektorraum M liegen, dann auch jede Konvexkombination $\begin{eqnarray} \lambda A + (1-\lambda)E, 0\leq \lambda\leq 1 \end{eqnarray}$ . Die Determinante dieser Kombination hängt stetig von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ab.
11.07.2017, 20:02	Mathlete1	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, aber das würde doch dann heißen, dass X als Produkt von 2 invertierbaren Matrizen wieder invertierbar ist und deshalb ist M doch ein Körper oder nicht?
11.07.2017, 20:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso Produkt? Das steht doch eine Summe.
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11.07.2017, 20:30	Mathlete1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah sorry richtig, aber wenn ich zum Beispiel A+E rechne, kommt wieder eine invertierbare Matrix raus die auch die Bedingung von M erfüllt. Deshalb denke ich, dass alle Matrizen in M irgendeine Kombination von A+E sind und deshalb wieder invertierbar und somit M ein Körper.
11.07.2017, 20:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Da denkst du falsch. Übrigens ist auch A-E ein Gegenbeispiel.

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