Partielle Integration

11.07.2017, 20:49

donttrustme

Partielle Integration

Hallo liebes Forum,

ich sitze vor folgender Aufgabe und habe irgendwo einen Denkfehler. Das Endergebnis habe ich mit $\begin{eqnarray*} -(x+1)e^{-x} \end{eqnarray*}$ bereits vorgegeben.

Ich soll xe^-x integrieren. Dafür benutze ich partielle Integration. Ich wähle x als mein "g" und e^-x als mein "f ' ". Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! xe^{-x} \, dx = -xe^{-x}-\int_{}^{} \! 1\cdot e^{-x} \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun beim rechten Term 1*e^-x integriere, erhalte ich doch -e^-x, oder nicht?

Aber dann erhalte ich als Endergebnis $\begin{eqnarray*} =-xe^{-x}-(-e^{-x})= -xe^{-x}+e^{-x}= e^{-x}(1-x) \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler???

11.07.2017, 20:58

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RE: partielle Integration
$\begin{eqnarray*} \int gf\, dx= gF-\int g'F\,dx \end{eqnarray*}$
Im ersten Summanden auf der rechten Seite ist F noch richtig, im Integral fehlt ein Minuszeichen.

11.07.2017, 20:58

Mulder

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RE: partielle Integration

Zitat:

Original von donttrustme
Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! xe^{-x} \, dx = -xe^{-x}\color{red}-\color{black}\int_{}^{} \! 1\cdot e^{-x} \, dx \end{eqnarray*}$

Das Vorzeichen (rot markiert) ist falsch. Vergleich nochmal mit der Formel für partielle Integration.

Edit: Raus.

11.07.2017, 21:06

donttrustme

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Tut mir Leid, aber ich verstehe nicht was ihr meint?! Die Formel stimmt doch so?!

11.07.2017, 21:07

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Was ist bei dir F ?

11.07.2017, 21:38

donttrustme

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e^-x ist bei mir F

11.07.2017, 21:41

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und wie kommst du dann in deiner Rechnung auf den Summanden $\begin{eqnarray*} -xe^{-x} \end{eqnarray*}$ ?

11.07.2017, 21:42

donttrustme

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ah, ich habs glaube ich....es müsste 1*(-e^-x) heißen, richtig?

11.07.2017, 21:43

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11.07.2017, 22:03

donttrustme

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Nun nochmal vollständig:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! xe^{-x} \, dx = -xe^{-x}-\int_{}^{} \! 1\cdot \left(-e^{-x} \right) \, dx \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} = -xe^{-x}- e^{-x} = -(x+1)e^{-x} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das nun so stimmt

12.07.2017, 08:31

klarsoweit

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Das ist korrekt (wenn man mal von der fehlenden Integrationskonstante absieht).
Übrigens kannst du deine Lösung prüfen, indem du mal deine Stammfunktion ableitest. smile

13.07.2017, 20:35

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Das hatten wir gelegentlich unter dem Stichwort
Feynman

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