Kompakter Operator

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Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakter Operator
Hallo zusammen,

sei ein Hilbertraum, der mit einer einer vollständigen orthonormal Basis ausgestattet ist.



1) Zeigen Sie, dass der Operator



beschränkt ist.



2) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Operators T.

Annahme: sind Eigenvektoren des Operators T.



Gilt die Implikation wirklich? Es könnte doch noch andere Eigenwerte für T geben.
Falls es keine geben sollte, weiß ich nicht, wie ich das mathematisch zeigen soll.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

A priori hast du Recht. Du weisst, dass alle natuerlichen Zahlen Eigenwerte sind, aber es koennten mehr existieren. Aber natuerlich kann man leicht zeigen, dass es nicht der Fall ist.

Ich bin sicher man kann damit argumentieren, dass man eine Orthogonalbasis des Raums als Eigenvektoren gefunden hat. Direkt geht es aber auch so: Sei eine Folge, bei dem mindestens zwei Komponenten ungleich 0 sind. Dann zeige, dass kein Eigenvektor ist. Damit sind alle Eigenvektor schon Folgen mit genau einem Eintrag ungleich 0.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Hinweis: Das Spektrum eines beschränkten Operators ist immer kompakt, da kann also was nicht ganz stimmen Augenzwinkern
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich bin sicher man kann damit argumentieren, dass man eine Orthogonalbasis des Raums als Eigenvektoren gefunden hat.


Stimmt.

Zitat:
Sei eine Folge, bei dem mindestens zwei Komponenten ungleich 0 sind. Dann zeige, dass kein Eigenvektor ist. Damit sind alle Eigenvektor schon Folgen mit genau einem Eintrag ungleich 0.


Wow, darauf wäre ich jetzt nicht gekommen.

Wäre diese Idee auch in Ordnung?
Sei wofür gilt . Wir können u in der VONB entwickeln:



Das heißt, dass es ein gibt (da ja nicht alle Koeffizienten verschwinden), es gibt also keine weiteren Eigenwerte als die, welche wir oben gefunden haben.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Clearly_wrong

Stimmt.

Die Gleichung ist aber doch für alle i in den natürlichen Zahlen (ohne Null) erfüllt.



Hmm
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist sie auch. Mir ist aber ein Rätsel, wie du daraus schließt, dass ein Eigenwert ist.
 
 
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach...



Danke für den Hinweis.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte wirklich nicht alles glauben, was hier behauptet wird Big Laugh

Aber der Beweis, dass ist, ist richtig. (Ziemlich sicher Big Laugh )
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

3) Zeigen Sie, dass der Operator

endlichen Rank hat und das .

-

Hieraus folgt (die Basisvektoren(=Folgen) sind offensichtlich linear unabhängig), dass



Kann man das so schreiben?



-

Bemerkung: soll die Operatornorm sein.

In der ersten Teilaufgabe habe ich bereits die kleinste Schranke gefunden, d.h.



Jetzt wie ich nicht, wie ich

ausschreiben soll.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wuerde das durchgehen lassen.

Und die Operatornorm wuerde ich einfach mithilfe der Definition ausschreiben. Versuche zu argumentieren, warum das Supremum bei einem Eigenvektor angenommen wird.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, dass die Information beim Beweis weiterhelfen könnte.

Dann versuche ich es mal mit der allgemeinen Definition:



Jetzt bin ich mir an zwei Stellen unsicher.

1: Das sup bleibt gleich oder muss ich anstatt die Folge u doch v hinschreiben?

- In der vorletzten Gleichheit sieht man bereits (angenommen das Supermum würde dort nicht stehen), dass wenn ich den Grenzwert für n gegen unendlich bilde, dass ich Null erhalte. Kann ich jetzt einfach



hinschreiben.

Wie verträgt sich das mit dem Supremum?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so was du geschrieben hast. Beachte nun, dass ist.

Und ja, wenn man das Supremum weg laesst, ist es klar. Aber das kann man eben a priori nicht einfach weglassen. Ohne das Supremum hast du die Definition von punktweiser Konvergenz. Mit dem Supremum hast du lokal gleichmaessige Konvergenz. Und genauso wie in Analysis 1 sind die beiden Begriffe hier auch nicht austauschbar.
Als Beispiel koennte man nehmen, d.h. wie dein in der Aufgabe, bloss skaliert man die Eintraege nicht mit . Und analog die ersten Eintraege bleiben wie bei S, und der Rest wird auf 0 gesetzt. Dann konvergiert fuer jedes u, aber nicht in der Operator-Norm.

Zurueck zur Aufgabe. Setze mal die Definition von ein und schaue, ob du es gegen etwas abschaetzen kannst, was nicht mehr von u abhaengt. Hoechstens von .
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »



Hmm die Differenz möchte ja nicht auflösen, weil ich später den Grenzwert (n gegen unendlich) bilden möchte.

Jetzt soll ich eine Abschätzung machen die nicht mehr von u abhängt (höchstens von ||u||). Ich weiß, dass du u " Quadrat summierbar " ist. Also inbesondere eine Nullfolge und beschränkt. D.h. ich könnte folgende Abschätzung machen



Mit ( weil u beschränkt ist)

Das Supremum, kann ich jetzt nicht einfach wegfallen lassen, weil c von ||u|| Abhängigkeit. Ich sehe leider nicht wo ich "hingehe".
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

.

Das war genau das richtig. Hier solltest du dann das einsetzen. Und dann versuchen zu zeigen, dass das in eine Nullfolge ist.

Weil ich gerade deinen LaTeX-Code kopiert habe: Schneller ist es \sup_{ \| u \|_{\ell^2} = 1} zu schreiben: .
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »




Zitat:
Setze mal die Definition von ein und schaue, ob du es gegen etwas abschaetzen kannst, was nicht mehr von u abhaengt. Hoechstens von


Zitat:
Ich weiß, dass du u " Quadrat summierbar " ist. Also inbesondere eine Nullfolge und beschränkt.




Wobei und die 1 Folge ist.

Daraus folgt:



Das ist wahrscheinlich kompletter Unsinn denn ich da hingeschrieben hab...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht falsch, aber etwas gegen unendlich abschätzen ist selten hilfreich Big Laugh .

Gehen wir zurueck zu
.

Das ist richtig, aber danach bist du verloren. Die rechte Seite hat den Wert 1, nachdem man das Supremum auswertet. Man nimmt einfach für jedes . Dann ist auf 1 normiert und die rechte Seite ist konstant 1.

Du musst eine bessere Abschätzung für den Faktor 1/k finden. 1 ist zu brutal!

Dann kannst du weiter
abschätzen. Offenbar ist dein Supremum darüber 1, und die linke Seite ist somit durch 1 beschränkt. Bleibt der rettende Vorfaktor.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, jetzt sehe ich es (hoffentlich Big Laugh )

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch Freude
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, vielen Dank für deine Hilfe!
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