Kompakter Operator |
12.07.2017, 17:03 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kompakter Operator sei ein Hilbertraum, der mit einer einer vollständigen orthonormal Basis ausgestattet ist. 1) Zeigen Sie, dass der Operator beschränkt ist. 2) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Operators T. Annahme: sind Eigenvektoren des Operators T. Gilt die Implikation wirklich? Es könnte doch noch andere Eigenwerte für T geben. Falls es keine geben sollte, weiß ich nicht, wie ich das mathematisch zeigen soll. |
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12.07.2017, 17:20 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
A priori hast du Recht. Du weisst, dass alle natuerlichen Zahlen Eigenwerte sind, aber es koennten mehr existieren. Aber natuerlich kann man leicht zeigen, dass es nicht der Fall ist. Ich bin sicher man kann damit argumentieren, dass man eine Orthogonalbasis des Raums als Eigenvektoren gefunden hat. Direkt geht es aber auch so: Sei eine Folge, bei dem mindestens zwei Komponenten ungleich 0 sind. Dann zeige, dass kein Eigenvektor ist. Damit sind alle Eigenvektor schon Folgen mit genau einem Eintrag ungleich 0. |
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12.07.2017, 17:37 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kleiner Hinweis: Das Spektrum eines beschränkten Operators ist immer kompakt, da kann also was nicht ganz stimmen |
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12.07.2017, 17:41 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt.
Wow, darauf wäre ich jetzt nicht gekommen. Wäre diese Idee auch in Ordnung? Sei wofür gilt . Wir können u in der VONB entwickeln: Das heißt, dass es ein gibt (da ja nicht alle Koeffizienten verschwinden), es gibt also keine weiteren Eigenwerte als die, welche wir oben gefunden haben. |
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12.07.2017, 18:02 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Clearly_wrong Stimmt. Die Gleichung ist aber doch für alle i in den natürlichen Zahlen (ohne Null) erfüllt. Hmm |
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12.07.2017, 18:05 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ist sie auch. Mir ist aber ein Rätsel, wie du daraus schließt, dass ein Eigenwert ist. |
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12.07.2017, 18:08 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach... Danke für den Hinweis. |
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12.07.2017, 18:23 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sollte wirklich nicht alles glauben, was hier behauptet wird Aber der Beweis, dass ist, ist richtig. (Ziemlich sicher ) |
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12.07.2017, 18:25 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
3) Zeigen Sie, dass der Operator endlichen Rank hat und das . - Hieraus folgt (die Basisvektoren(=Folgen) sind offensichtlich linear unabhängig), dass Kann man das so schreiben? - Bemerkung: soll die Operatornorm sein. In der ersten Teilaufgabe habe ich bereits die kleinste Schranke gefunden, d.h. Jetzt wie ich nicht, wie ich ausschreiben soll. |
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12.07.2017, 18:46 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrektur: |
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12.07.2017, 19:23 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich wuerde das durchgehen lassen. Und die Operatornorm wuerde ich einfach mithilfe der Definition ausschreiben. Versuche zu argumentieren, warum das Supremum bei einem Eigenvektor angenommen wird. |
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13.07.2017, 15:57 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte, dass die Information beim Beweis weiterhelfen könnte. Dann versuche ich es mal mit der allgemeinen Definition: Jetzt bin ich mir an zwei Stellen unsicher. 1: Das sup bleibt gleich oder muss ich anstatt die Folge u doch v hinschreiben? - In der vorletzten Gleichheit sieht man bereits (angenommen das Supermum würde dort nicht stehen), dass wenn ich den Grenzwert für n gegen unendlich bilde, dass ich Null erhalte. Kann ich jetzt einfach hinschreiben. Wie verträgt sich das mit dem Supremum? |
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13.07.2017, 16:12 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt so was du geschrieben hast. Beachte nun, dass ist. Und ja, wenn man das Supremum weg laesst, ist es klar. Aber das kann man eben a priori nicht einfach weglassen. Ohne das Supremum hast du die Definition von punktweiser Konvergenz. Mit dem Supremum hast du lokal gleichmaessige Konvergenz. Und genauso wie in Analysis 1 sind die beiden Begriffe hier auch nicht austauschbar. Als Beispiel koennte man nehmen, d.h. wie dein in der Aufgabe, bloss skaliert man die Eintraege nicht mit . Und analog die ersten Eintraege bleiben wie bei S, und der Rest wird auf 0 gesetzt. Dann konvergiert fuer jedes u, aber nicht in der Operator-Norm. Zurueck zur Aufgabe. Setze mal die Definition von ein und schaue, ob du es gegen etwas abschaetzen kannst, was nicht mehr von u abhaengt. Hoechstens von . |
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13.07.2017, 16:43 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm die Differenz möchte ja nicht auflösen, weil ich später den Grenzwert (n gegen unendlich) bilden möchte. Jetzt soll ich eine Abschätzung machen die nicht mehr von u abhängt (höchstens von ||u||). Ich weiß, dass du u " Quadrat summierbar " ist. Also inbesondere eine Nullfolge und beschränkt. D.h. ich könnte folgende Abschätzung machen Mit ( weil u beschränkt ist) Das Supremum, kann ich jetzt nicht einfach wegfallen lassen, weil c von ||u|| Abhängigkeit. Ich sehe leider nicht wo ich "hingehe". |
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13.07.2017, 16:58 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
. Das war genau das richtig. Hier solltest du dann das einsetzen. Und dann versuchen zu zeigen, dass das in eine Nullfolge ist. Weil ich gerade deinen LaTeX-Code kopiert habe: Schneller ist es \sup_{ \| u \|_{\ell^2} = 1} zu schreiben: . |
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13.07.2017, 17:27 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wobei und die 1 Folge ist. Daraus folgt: Das ist wahrscheinlich kompletter Unsinn denn ich da hingeschrieben hab... |
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13.07.2017, 17:34 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist nicht falsch, aber etwas gegen unendlich abschätzen ist selten hilfreich . Gehen wir zurueck zu . Das ist richtig, aber danach bist du verloren. Die rechte Seite hat den Wert 1, nachdem man das Supremum auswertet. Man nimmt einfach für jedes . Dann ist auf 1 normiert und die rechte Seite ist konstant 1. Du musst eine bessere Abschätzung für den Faktor 1/k finden. 1 ist zu brutal! Dann kannst du weiter abschätzen. Offenbar ist dein Supremum darüber 1, und die linke Seite ist somit durch 1 beschränkt. Bleibt der rettende Vorfaktor. |
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13.07.2017, 17:49 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach so, jetzt sehe ich es (hoffentlich ) |
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13.07.2017, 17:59 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Geht doch |
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13.07.2017, 18:04 | Silencium92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Perfekt, vielen Dank für deine Hilfe! |
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