Lokale Änderungsrate mit zentralem Differenzenquotient

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PechKaro Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Änderungsrate mit zentralem Differenzenquotient
Meine Frage:
Hallo,
in meiner Didaktik-Übung wurde die Frage gestellt, ob folgende Definition für die lokale Änderungsrate

gleichwertig zu der vertrauten Definition

ist.
Die Antwort war nein, aber warum nicht?

Meine Ideen:
Klar, bei der vertrauten Definition nähern wir uns unserem nur von einer Seite, während wir uns bei der alternativen Definition von beiden Seiten nähern. Aber inwiefern macht das einen Unterschied? Hat da jemand vielleicht ein Beispiel? Bei den Funktionnen, die ich mir so angeschaut habe, lief beides auf dasselbe hinaus.

Liebe Grüße smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte z.B. mal die Funktion an der Stelle .
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn in differenzierbar ist (also wenn der untere Grenzwert existiert), dann existiert auch der obere und die beiden Grenzwerte sind gleich.

Wenn aber in nicht differenzierbar ist, kann es sein, dass trotzdem der obere Grenzwert existiert. (Siehe z.B. die Betragsfunktion in )

Edit: Zu langsam... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch schlimmer: und . Augenzwinkern
PechKaro Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt für die Betragsfunktion erhalte ich zwei unterschiedliche Ergebnisse verwirrt



Würde ich mich jetzt noch von links annähern, würde ich als dritten Wert noch -1 erhalten. Ich nehme an das bedeutet, dass f in 0 nicht differenzierbar ist.

Am zweiten Beispiel ist es mir glaube ich noch besser klar geworden.

Die erste Formel umgeht quasi die Definitionslücke, sodass man für x = 0 trotzdem einen Wert für f'(0) erhält:



Das ist natürlich Unsinn. Wenn es kein f(0) gibt, kann es auch kein f'(0) geben.
Mit der zweiten Formel hingegen stößt man direkt auf dieses Problem:

nicht definiert

Habe ich das soweit richtig verstanden?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Bei aller Experimentierfreudigkeit sollte man sich aber doch zuvörderst der notwendigen Stetigkeit der Funktion im untersuchten Punkt versichern, wie bei der Betragsfunktion erfüllt. Deshalb ist es wohl nicht so sinnvoll, zum Differenzieren gerade ein zu wählen, für das die Funktion noch nicht mal definiert ist.

Etwas spannender als kleine Umformungsübung ist es hier, die Ableitungsfunktion von
für alle
mit der Methode

zu bestimmen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Bei aller Experimentierfreudigkeit sollte man sich aber doch zuvörderst der notwendigen Stetigkeit der Funktion im untersuchten Punkt versichern

Nun, bei dieser "alternativen" Definition der Änderungsrate spielt Stetigkeit, oder überhaupt auch Definiertheit der Funktion an der Stelle keine Rolle. Das mag absurd wirken, aber genau auf solche seltsamen Effekte wollten wir ja hier beim Vergleich mit dem "echten" Differentialquotienten hinaus. Augenzwinkern

Und wenn ich mal per Analogiebetrachtung an den Cauchyschen Hauptwert denke, dann kann man vielleicht auch diesem anderen Grenzwert oben noch einen Sinn abgewinnen.
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