Existiert um 0 holomorphe Funktion mit...?

13.07.2017, 11:10

2.339

Existiert um 0 holomorphe Funktion mit...?

Meine Frage:
Hi,

ich habe eine unschuldig aussehende Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß:

Existiert in einer Umgebung von Null eine holomorphe Funktion f mit

a) $\begin{eqnarray*} f(z)^2=1-cos(z) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(z)^2=sin(z) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß nicht, wie ich herangehen soll. Das einzige, was mir noch irgendwie einfällt wäre der Potenzreihenentwicklungssatz. Das ist zumindest das einzige, was ich kenne, bei dem "genau dann holomorph" vorkommt.
Aber warum sollte man um die Null die obigen Funktionen nicht als Potenzreihe darstellen können?

Bitte um Hilfe, danke schonmal!

13.07.2017, 11:26

Guppi12

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Hallo,

Tipp für a) denk an die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus und schau, ob du da sowas ähnliches wiedererkennst.

Tipp für b) Leite beide Seiten mal ab und schau, ob du was erkennen kannst.

13.07.2017, 11:42

2.339

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Also, bei a) fällt mir dazu $\begin{eqnarray*} sin^2(z) = 1-cos^2(z) \end{eqnarray*}$ ein, aber das haben wir hier ja nicht...

bei b) auf beiden Seiten abgeleitet ergibt

$\begin{eqnarray*} 2f(z)f'(z)=cos(z) \end{eqnarray*}$ oder umgeformt $\begin{eqnarray*} f'(z)=\frac{cosz}{2f(z)} \end{eqnarray*}$ und das wäre für $\begin{eqnarray*} f(z)=\sqrt{sinz} \end{eqnarray*}$ erfüllt... Macht das irgendeinen Sinn?

Aber ich stehe immer noch auf dem Schlauch und sehe nicht, was das mit der Holomorphie in einer Umgebung um die Null zu tun hat...

Vielleicht könntest du mir da auf die Sprünge helfen?

13.07.2017, 14:26

Guppi12

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Zu a) Das war nun ein Additionstheorem. Wenn du wirkllich keine weiteren kennst, solltest du dich dazu ein wenig belesen.

b) Umformen brauchst du das garnicht. Du solltest direkt an dieser Form etwas erkennen. Vielleicht könnte man spezielle Punkte in beide Seiten einsetzen... Augenzwinkern

13.07.2017, 15:26

HAL 9000

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Vielleicht sollten wir hier aufhören, wie die Katze um den heißen Brei zu schleichen, manchmal sieht man es ganz einfach nicht. Augenzwinkern

@2.339

b) Setze einfach $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ in deine beiden Gleichungen

$\begin{align*} (f(z))^2 &= \sin(z)\\ 2f(z)f'(z) &= \cos(z) \end{align*}$

ein, dann sollte der Aha-Effekt eintreten.

13.07.2017, 19:53

2.339

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Danke, klar, es ergibt sich ein Widerspruch, damit ist b) erledigt.

Bleibt noch a - natürlich kenne ich auch die anderen Additionstheoreme, aber die schienen mir ebensowenig zu passen... Man könnte natürlich

$\begin{eqnarray*} cos(z)=cos^2(\frac{z}{2})-sin^2(\frac{z}{2}) \end{eqnarray*}$

schreiben.

Aha! Dann geht natürlich das andere Additionstheorem und man kommt auf

$\begin{eqnarray*} f(z)=2sin^2(\frac{z}{2}) \end{eqnarray*}$

Hat man damit die holomorphe Funktion gefunden?

13.07.2017, 19:59

Guppi12

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Wenn du das quadrierst, hast du einen Term mit Sinus hoch 4, ist das wirklich, was du willst? Es geht aber auf jeden Fall in die richtige Richtung.

14.07.2017, 08:50

2.339

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Ah, nein natürlich nicht, wir sind hier ja von $\begin{eqnarray*} f(z)^2 \end{eqnarray*}$ ausgegangen!

Für $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ muss man noch die Wurzel ziehen, also

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sqrt{2} \cdot sin(\frac{z}{2}) \end{eqnarray*}$

Das sieht schon besser aus! Stimmt das?

14.07.2017, 09:32

Guppi12

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Ist das eine holomorphe Funktion?

Ist ihr Quadrat, die gewünschte Funktion?

Diese Fragen kannst du selbst beantworten, du brauchst mich dafür nicht.

14.07.2017, 09:39

2.339

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Also m.E. ist das eine holomorphe Funktion, da der sin ja holomorph ist.

Und das Quadrat sollte die gewünschte Fkt. sein, denn so haben wir es ja erst ausgerechnet. Es sei denn ich hab mich irgendwo verrechnet...

14.07.2017, 09:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von 2.339
Es sei denn ich hab mich irgendwo verrechnet...

Wenn man sich einigermaßen sicher ist, darf man so einen Satz auch gern mal weglassen... Aber ja, deine Argumentation ist richtig. Freude

14.07.2017, 10:02

2.339

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn man sich einigermaßen sicher ist, darf man so einen Satz auch gern mal weglassen... Aber ja, deine Argumentation ist richtig. Freude

Da hast du recht Augenzwinkern

Danke für eure Hilfe

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