Signatur einer Matrix

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Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »
Signatur einer Matrix
Meine Frage:
Hallo,
folgende Matrix

Ich soll die Signatur bestimmen.

Meine Ideen:
Nach dem Sylvest. Trägheitssatz ex. eine Matrix T s.d T^TAT eine Diagonalmatrix ist von der man die Signatur ablesen kann.
Die Matrix ist symmetrisch,insbesondere selbstadjungiert und deswegen diagonalisierbar. Kann ich dann also einfach mit Zeilenumformungen:


die EW ablesen 2 positive , 1 negativer EW -> Signatur(A)=(2,1) ? Stimmt das so?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Signatur einer Matrix
Im Allgemeinen erhaelt der Gauss-Algorithmus sicherlich nicht Eigenwerte. Es mag sein, dass es für symmetrische dennoch irgendwie gilt, aber dafür muesstest du irgendwo einen Satz auftreiben.

Ferner ist es nicht trivial, dass die Signatur mit den Eigenwerten zusammenhängen. Auch dafür braucht es einen Satz. (Laut Wikipedia gilt dies aber.)
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Signatur einer Matrix
Ja aber ,wir wissen ja die symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Insbesondere existiert ein solches T s.d T^TAT eine Diagonalmatrix ist .
Denn wir wissen dass wenn A symmetrisch ist, existiert eine orthogonale Matrix T s.d T^-1AT eine Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten von A auf der Diagonalen.
Da T aber orthogonal ist gilt ja T^-1=T^T , somit ist T^TAT erfüllt...
oder nicht ? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Signatur einer Matrix
Das stimmt, aber ich weiss nicht was du damit jetzt begruenden willst.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Signatur einer Matrix
Nunja wenn ich dann eben schon im vorhinein die Eigenwerte berechne und dann meine Diagonalmatrix aufstelle mit den EW auf der Diagonalen, wäre das denn nicht die gesucht Diagonalgestalt von der ich meine Signatur ablesen kann ?
In dem Fall hätten wir ja dann

1 0 0
0 1 0
0 0 -2

--> Signatur(A) = (2,1)
Wobei... in der Definition steht ja dass es eine Gestalt haben sollte mit Einheitsmatrizen als Blockgestalt...da stört die -2 , kann ich die Zeile einfach mal 1/2 nehmen ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Signatur einer Matrix
Was ich mich frage: Was haben die Eigenwerte von

mit den Eigenwerten der Matrix
zu tun?

Wenn das allgemein gilt, dann besitzt jede reelle Matrix nur reelle Eigenwerte. Schließlich stehen nach Gauß nur reelle Zahlen auf der Diagonale. Das kann es also nicht sein. Und ich habe noch nicht gehört, dass es wenigstens für symmetrische Matrizen gilt -- was nicht heißt, dass es so etwas nicht gibt. Aber ich bezweifle es stark.

Und diagonalisieren ist eben nicht das gleiche wie die Sylvesterform. Bei der Silvesterform, darf man invertierbar wählen und berechnen, während man beim diagonalisieren muss man nehmen. Nur wenn man sich einschränkt auf orthogonale Matrizen sieht es wenigstens formal nach aus.

Aber im allgemeinen wird das Silvester nicht orthogonal sein, insb. ist dann . Was du daran siehst, dass man bei der Form irgendwo durch eine 2 teilen muss. Daher ist es auch nicht trivial, dass Eigenwerte und Signatur miteinander zusammenhaengen.
 
 
exile007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Was haben die Eigenwerte von mit den Eigenwerten der Matrix zu tun?

Wenn ich mal diese rhetorische Frage beantworten darf: Nichts, außer dass sie zur selben Signatur (2,1) führen.

Die Eigenwerte von A sind (gerundet): 5.113 , 0.089 , -2.202
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