Bestimmtes Integral

14.07.2017, 10:44	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmtes Integral Hallo, ich bin auf folgendes Integral gestoßen. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\frac{\pi }{4} } \! x \cdot \prod_{k=1}^{\infty }cos(\frac{x}{2^k}) \, dx \end{eqnarray}$ Ich sehe da nicht wie ich anfangen soll. Wsl konvergiert das Produkt gegen eine Funktion, aber das sind nur vage, unbgegründete Vermutungen.
14.07.2017, 11:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch mehrfache Anwendung des Additionstheorems $\begin{align} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{align}$ kommt man zu der Gleichung $\begin{align} 2^n \sin\left( \frac{x}{2^n} \right) \prod_{k=1}^n \cos\left( \frac{x}{2^k} \right) = \sin(x) \end{align}$ , d.h., es ist $\begin{align} \prod_{k=1}^n \cos\left( \frac{x}{2^k} \right) = \frac{\sin(x)}{2^n \sin\left( \frac{x}{2^n} \right)}\qquad () \end{align}$ zumindest für Werte $\begin{align} x \end{align}$ mit $\begin{align} \sin\left(\frac{x}{2^n}\right)\neq 0 \end{align}$ . Für beliebige, aber feste $\begin{align} x\neq 0 \end{align}$ ist letzteres bei genügend großen $\begin{align} n \end{align}$ der Fall. Jetzt muss man sich nur noch überlegen, was in () beim Grenzübergang $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ passiert...
14.07.2017, 11:39	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL Erstmal zum Additionstheorem. Ich blicke noch nicht ganz durch wie du darauf kommst. Kannst du es bitte nochmals näher erläutern.
14.07.2017, 11:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich soll erläutern, wie ich auf das Additionstheorem $\begin{align} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{align}$ komme? Ist nicht dein Ernst.
14.07.2017, 11:46	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nein. Wie du durch mehrmaliges Anwenden auf die 1. Gleichung kommst?
14.07.2017, 11:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na setze einfach nacheinander $\begin{align} t=\frac{x}{2},\frac{x}{4},\frac{x}{8},\ldots \end{align}$ in $\begin{align} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{align}$ ein: $\begin{align} \sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 2^2\sin\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 2^3\sin\left(\frac{x}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \ldots \end{align}$ . Seriöserweise würde man dann aber statt der ...-Argumentation die Gleichung () durch vollständige Induktion über $\begin{align} n \end{align*}$ beweisen.
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14.07.2017, 11:58	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok perfekt. Wie du schon gesagt hast muss ich jetzt den Grenzwert auswerten. Hast du da einen Tipp, wie ich das machen könnte?
14.07.2017, 12:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du den Grenzwert $\begin{align} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \end{align}$ ? Denk mal drüber nach, was der damit zu tun hat.
14.07.2017, 12:14	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso mit Subst. t=x/2^n ergibt sich x * sin(t)/t für t gehen 0 dann x*1= x Also kürzt sich das x im Integral weg und man erhält einfach nur den sin(x) . In den Grenzen ist es dann 1- sqrt(2)/2 Ich hoffe es passt so
14.07.2017, 12:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So sieht's wohl aus.
14.07.2017, 13:19	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt HAL, wie immer

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