Integraltrick

14.07.2017, 11:44	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Integraltrick Hallo, ich bins nochmal. Es geht beispielhaft um folgendes Integral $\begin{eqnarray} \int x^2 e^{x} dx \end{eqnarray}$ Man kann dies ja wie folgt umschreiben: $\begin{eqnarray} \int\!\partial^2_t e^{-tx}\|_{t=1} \, dx = <br /> \partial^2_t \int\! e^{-tx}\|_{t=1} \, dx=...... \end{eqnarray}$ Wie kann man das Vertauschen von Ableitung und Integral rechtfertigen?
14.07.2017, 15:07	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integraltrick Es gibt da einen Satz ueber die Differenziation von Parameterintegralen (eben nach dem Parameter). Dazu muessen die Integrale aber feste Grenzen haben. Sonst ist man schon eher bei der Leibnizregel für Parameterintegrale und die Sache sieht komplizierter aus. Der Satz ueber Parameterintegrale geht so: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\int_a^bf(x,t)\,dx=\int_a^bf_t(x,t)\,dx. \end{eqnarray}$ Also z.B. $\begin{eqnarray} \frac{d^2}{dt^2}\int_0^\infty e^{-tx}\,dx=\int_0^\infty x^2e^{-tx}\,dx. \end{eqnarray}$ Da kannst Du links aber erst ganz zum Schluss z.B. $\begin{eqnarray} t=1 \end{eqnarray}$ einsetzen, nicht schon vor dem Integrieren, wie Deine Schreibweise das andeutet.
14.07.2017, 15:27	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integraltrick Danke Welche Voraussetzungen muss man in diesem Fall konkret prüfen, damit dieser Satz gilt?
14.07.2017, 21:53	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz speziell auf diese Situation zugeschnitten brauchst du, wenn ich die Notation von 005 übernehme: (1) $\begin{align} f(x,\cdot ) \end{align}$ ist zweimal stetig differenzierbar für fast alle $\begin{align} x\in[a,b] \end{align}$ . (2) $\begin{align} f(\cdot , t) \end{align}$ ist Lebesgue-integrierbar für alle $\begin{align} t \end{align}$ in einer Umgebung um $\begin{align} 1 \end{align}$ . (3) Es gibt ein Lebesgue-integrierbares $\begin{align} g:[a,b]\to [0,\infty) \end{align}$ mit $\begin{align} \|f_t(x,t)\|+\|f_{tt}(x,t)\|\leq g(x) \end{align}$ für alle $\begin{align} x\in [a,b] \end{align}$ und $\begin{align} t \end{align}$ in einer Umgebung von $\begin{align} 1 \end{align}$ .
14.07.2017, 22:10	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integraltrick Das ist z.B. Satz 128.2 bei Heuser (Analysis II). Es soll ein $\begin{eqnarray} g\in L[a,b] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|f_t(x,t)\|\le g(x) \end{eqnarray}$ fuer alle $\begin{eqnarray} x\in[a,b] \end{eqnarray}$ geben. Es sollte nebenbei in 1D auch ohne Grenzen gehen. Man kann ja $\begin{eqnarray} \int_a^xf(\xi,t)\,d\xi \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \int f(x,t)\,dx \end{eqnarray}$ schreiben. Man will aber mit der Methode eigentlich immer bestimmte Integrale ausrechnen, bei denen man fuer den Integranden keine elementare Stammfunktion angeben kann. Mit $\begin{eqnarray} F(t)=\int_0^\infty\frac{\exp(-t^2(1+x^2))}{1+x^2}\,dx \end{eqnarray}$ z.B. kann man auf den Wert des Fehlerintegrals kommen.

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