Banachraum

14.07.2017, 15:12

Approxx

Banachraum

Guten Tag,

sei $\begin{eqnarray*} \displaystyle C^1([0,2\pi],\mathbb C, ||.||_\infty) \end{eqnarray*}$ ein Banachraum.

Ich hatte diese Aufgabe gelöst, in dem ich gezeigt habe das dieser nicht vollständig ist. Bei der Korrektur ist der Übungsleiter anderes vorgegangen. Er hat gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \displaystyle C^1([0,2\pi],\mathbb C, ||.||_\infty) \end{eqnarray*}$ nicht vollständig ist.

Das hat er mit dem folgenden Gegenbeispiel gezeigt:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle f_n(x) = \sqrt{(x-\pi)^2 +\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

Daraus schließt er jetzt, dass $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ insbesondere nicht vollständig ist.

Meine Frage:

Gilt auf normierten Räumen oder Räumen mit einem Skalarprodukt, dass

$\begin{eqnarray*} Vollstaendig \quad \Leftrightarrow \quad Abgeschlossen \end{eqnarray*}$

14.07.2017, 15:25

IfindU

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RE: Banachraum
Seien $\begin{eqnarray*} Y \subset X \end{eqnarray*}$ normierte Räume mit Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \| \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ vollständig. Dann ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ vollständig genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

Hier wäre $\begin{eqnarray*} X = C^0( [0, 2\pi], \mathbb C, \| \cdot \|_\infty) \end{eqnarray*}$ .

14.07.2017, 15:31

Approxx

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Interessant, dass habe ich nicht gewusst.

Hast dieser Satz einen speziellen Namen. Würde mir dazu gerne etwas durchlesen, weil ich nicht ganz nachvollziehen kann warum das gelten soll.

14.07.2017, 15:42

IfindU

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Der Beweis ist sehr elementar.

Um $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ zu zeigen: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Um $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ zu zeigen: Nimm dir eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Diese ist eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Dort konvergiert sie. Bleibt zu zeigen, dass der Grenzwert bereits in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ liegt.

14.07.2017, 16:03

Approxx

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In der Übung haben wir es nicht geschafft eine Aufgabe zum kompakten Operator zu lösen. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir dabei helfen könntest.

Sei $\begin{eqnarray*} B:V\to V \end{eqnarray*}$ ein Operator mit $\begin{eqnarray*} Bu=ue^{-n} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V=\{u|\sum_{n \in \mathbb N} n^2 u^2_n < \infty\ , u_n \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ ein Folgenraum ist.

Ich soll zeigen, dass B kompakt ist.

Es ist noch ein Hinweis gegeben: B ist Grenzwert von einer Folge von Operatoren mit endlichem Rang.

Ich habe einen solchen Beweis noch nie geführt und habe deswegen zwei Frage:

- Sei $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ eine solche Folge. In welcher Norm soll $\begin{eqnarray*} ||B-B_n|| \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergieren (die Norm vom Wertebereich, also V)?

- Ich hatte mal irgendwann mal gelesen, dass man sich die Folge wie folgt konstruieren kann

$\begin{eqnarray*} B_n=P B \end{eqnarray*}$

wobei der P der Projektor auf eine Basis ist. Ist damit die Basis vom Bild oder Definitionsbereich gemeint?

14.07.2017, 16:20

IfindU

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Das ist gerade alles etwas ungenau. Ich denke du meisnt $\begin{eqnarray*} (Bu)_n := u_n e^{-n} \end{eqnarray*}$ .Die Norm auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ wird wohl $\begin{eqnarray*} \| u\|^2_V = \sum_{n=1}^\infty n^2 u_n^2 \end{eqnarray*}$ sein.

Konvergenz von Operatoren wird ueblicherweise mit der Operatornorm bewiesen. D.h. $\begin{eqnarray*} B^k \to B \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \| B^k - B \|_{op} = \sup_{u \in V, \| u\|_V = 1} \| B^k(u) - B(u)\|_{V} \to 0. \end{eqnarray*}$

Und die Projektion ist immer derart, dass $\begin{eqnarray*} P^k B \end{eqnarray*}$ gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} (P^k B)(u)_n = \begin{cases} B(u)_n &\text{ falls } n \leq k \\ 0 &\text{ sonst.} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Man schneitet also die Folge ab, so dass man ab Index $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ nur noch Nullen hat.

14.07.2017, 17:26

Approxx

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Sehr schlampig von meiner Seite aufgeschrieben, Entschuldigung dafür.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V=\{u|\sum_{n \in \mathbb N} n^2 u^2_n < \infty\ , u_n \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Das war in Ordnung. Das Skalarprodukt auf V ist wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} <u,v>_V = \sum_{n \in \mathbb N} n^2 u_n v_n \end{eqnarray*}$

Dementsprechend hast du die Norm korrekt hingeschrieben.

Zitat:

Konvergenz von Operatoren wird ueblicherweise mit der Operatornorm bewiesen.

$\begin{eqnarray*} \| B^k - B \|_{op} = \sup_{u \in V, \| u\|_V = 1} \| B^k(u) - B(u)\|_{V} = \sup_{u \in V, \| u\|_V = 1} \sum_{n \in \mathbb N} n^2 | (B^ku)_n -(Bu)_n)|^2 = \sup_{u \in V, \| u\|_V = 1} \sum_{n=k+1}^\infty n^2 | (Bu)_n|^2 = \sup_{u \in V, \| u\|_V = 1} \sum_{n =k+1}^ \infty n^2 | e^{-n}u_n|^2 (*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (*) \leq e^{-k} \sup_{u \in V, \| u\|_V = 1} \sum_{n =k+1}^\infty n^2 | u_n|^2 \leq e^{-k} \sup_{u \in V, \| u\|_V = 1} \sum_{n \in \mathbb N}^\infty n^2 | u_n|^2= e^{-k} \to 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

Zitat:

Und die Projektion ist immer derart, dass $\begin{eqnarray*} P^k B \end{eqnarray*}$ gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} (P^k B)(u)_n = \begin{cases} B(u)_n &\text{ falls } n \leq k \\ 0 &\text{ sonst.} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Gilt das immer?

So lässt sie die Kompaktheit ja echt einfach zeigen smile

. Habe davor immer den Satz von Arzela benutzt .

14.07.2017, 18:44

IfindU

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Sieht gut aus. Und "immer" war wohl zu stark. Es gibt sicher Situationen wo man es anders definiert. Aber schoene Basis nehmen und auf die ersten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ projizieren klingt nach einer guten Idee.

Ich kenn mich mit Operatortheorie nicht wirklich aus. Ich hatte nur eben gelesen, dass man fuer das Resultat:
Operatoren mit finiten Rang konvergieren gegen kompakte Operatoren
braucht, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ vollstaendig ist. Daher fand ich es wichtig die Norm anzugeben und habe die kanonische genommen, s.d. V vollstaendig ist. Ob das die einzige Voraussetzung ist, weiss ich nicht.

Ich wuerde tippen (aka raten), dass im Buch von Dirk Werner, Funktionalanalysis, sehr viel zu solchen Dingen steht. Habe es aber gerade nicht hier, um nachzugucken.

Ansonsten habe ich 1-2 User hier im Kopf, die sich deutlich besser damit auskennen. Hoffentlich sehen sie das und kommen vorbei und klaeren ein paar Sachen auf Big Laugh

15.07.2017, 12:51

Approxx

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Dankeschön!

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