Goniometrische Gleichung

14.07.2017, 15:26	harse	Auf diesen Beitrag antworten »
Goniometrische Gleichung Meine Frage: Hallo, ich bin auf der Suche nach einem Lösungsweg für die Gleichung cos^2(x)+5sin(2x)=1,916 Meine Ideen: Ich weiß, dass x=5,33° rauskommt, und dass sich das cos^2(x) vermutlich durch trigonometrische Identitäten ersetzten lässt, aber wie gehts dann weiter um letztendlich nach x aufzulösen. Vielen Dank
14.07.2017, 15:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bleibt nichts anderes übrig, als $\begin{eqnarray} \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \end{eqnarray}$ zu setzen. Du bekommst (mittels Quadrierens) dann eine biquadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} \cos x \end{eqnarray}$ . Denke daran, für alle Lösungen die Probe zu machen, dann es kann passieren, dass infolge des Quadrierens, welches nicht immer eine Äquivalenzumformung darstellt, sich (falsche) Scheinlösungen einschleichen (!) mY+
14.07.2017, 15:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$ , das überführt deine Gleichung in $\begin{align} \cos(2x) + 10\sin(2x) = 2.832 \end{align}$ Eine solche Gleichung vom Typ $\begin{align} a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x) = c \end{align}$ lässt sich in $\begin{align} r\cos(\omega x-\varphi) = c \end{align}$ überführen, wobei $\begin{align} (r,\varphi) \end{align}$ die zu $\begin{align} a,b \end{align}$ gehörenden Polarkoordinaten sind (d.h. mit $\begin{align} a=r\cos(\varphi),b=r\sin(\varphi) \end{align}$ ). Die Lösungen dieser Gleichung sind dann $\begin{align} \omega x = \varphi \pm \arccos\left(\frac{c}{r}\right) + 2k\pi \end{align}$ mit ganzen Zahlen $\begin{align} k \end{align}$ , sofern $\begin{align} \|c\|\leq r \end{align}$ ist. Andernfalls gibt es keine reellen Lösungen. Dank äquivalenter Umformungen (ohne Quadrieren) ist bei diesem Weg keine Probe nötig.
15.07.2017, 09:04	harse	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnellen Antworten, aber mit Überführung in Polarkoordinaten müsste ich mich überhaupt erstmal befassen, um das nochvollziehen zu können, aber Danke.
15.07.2017, 09:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer diese "aber, aber"-Bedenkenträger ... stell dich nicht so an, das ist doch nicht kompliziert, und eigentlich auch Grundlagenwissen: Es ist $\begin{align} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{align}$ , und zumindest im Fall $\begin{align} a>0 \end{align}$ (der hier ja vorliegt) ist $\begin{align} \varphi=\arctan\left( \frac{b}{a} \right) \end{align}$ . Damit kommt hier einfach $\begin{align} x = \frac{1}{2}\left( \arctan(10) \pm \arccos\left( \frac{2.832}{\sqrt{101}} \right) \right) + k\pi \end{align}$ heraus. Die Variante "-" sowie $\begin{align} k=0 \end{align}$ ergeben deine 5.33°.
15.07.2017, 16:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Vorschlag von HAL nicht verwenden willst (was dir übrigens durchaus freisteht), dann mache es doch so wie anfangs vorgeschlagen (Übergang auf nur eine Funktion $\begin{eqnarray} \cos x \end{eqnarray}$ ), oder hast du dies auch nicht verstanden? mY+
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