100 mal würfeln mit 11-seitigem Würfel

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GE_Student Auf diesen Beitrag antworten »
100 mal würfeln mit 11-seitigem Würfel
Meine Frage:
Zur Klausurvorbereitung habe ich folgende Aufgabe:

Ein 11-seitiger Würfel mit Augenzahlen von 2 bis 12 wird 100 mal gewürfelt.
Sei die Zufallsvariable Z := "Summe der Augenzahlen von 100 Würfen"

Berechnen Sie p(Z=202). Also die Wahrscheinlichkeit, dass nach 100 Würfen die Augensumme = 202 ist.

Meine Ideen:
Mir wurde schnell klar, dass es praktisch unmöglich ist die Anzahl der günstigen Ereignisse abzuzählen. Z.b. 99mal die 2 und einmal die 4 wäre ein solches Tupel. Oder 98mal die 2 und einmal die 8. Oder, oder...

Kombinatorik war leider nie meine Stärke. Welcher Ansatz wäre hier zielführend?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GE_Student
Z.b. 99mal die 2 und einmal die 4 wäre ein solches Tupel. Oder 98mal die 2 und einmal die 8.

Während das erste Beispiel in Ordnung geht, ist das zweite kompletter Unfug: Es fehlt der 100te Wurf, und die Summe 202 stimmt auch nicht. unglücklich

Zitat:
Original von GE_Student
Mir wurde schnell klar, dass es praktisch unmöglich ist die Anzahl der günstigen Ereignisse abzuzählen.

Kommt drauf an, was man unter "abzählen" versteht. Wenn du dir alle einzeln vorknöpfen willst, dann sind es zu viele, ja - aber es geht ja auch anders. Augenzwinkern

Kombination mit Wiederholung von aus Elementen, Anzahl: .

Erklärung: Die Anzahl der 100-Tupel mit Elementen aus und Summe 202 entspricht der Anzahl der 100-Tupel mit Elementen aus und Summe 202-100*2 = 2. Weiter dann mit der Wikipedia-Seite, siehe insbesondere Unterabschnitt "Mengendarstellung" !!!


P.S.: Für eine Wahrscheinlichkeitsberechnung ist diese Anzahl aber nur brauchbar, wenn dein 11seitiger Würfel wirklich fair ist, d.h., jede Augenzahl mit Wahrscheinlichkeit 1/11 auftritt. Wenn der 11er-"Würfel" dagegen so beschaffen ist, dass eigentlich zwei normale Würfel genommen werden und deren Augenzahlen addiert werden (ergibt auch Werte zwischen 2 und 12), dann ist das nicht fair.
GE_Student Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du deine Erklärung genauer ausführen?

Die Anzahl der möglichen Tupel berechne ich mit " mit zurücklegen und ohne reihenfolge" :

Also

n= 11
k= 100

= 4.6*10^13

Aber wie kommst du genau auf die Anzahl der günstigen Tupel?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Anzahl aller Tupel ist . Die Reihenfolge ist zu berücksichtigen, wie immer bei solchen Laplace-Würfeleien.

EDIT: Sorry, meinte natürlich "alle" statt "günstig". Die günstigen hatten wir ja oben schon, das waren 5050.
GE_Student Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich ein. Aber wie ist dein Gedankengang zu den günstigen?

Wieso wählst du 2 aus 100?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir nur dringend raten, die Grundlagen der Kombinatorik besser zu studieren. Z.B. eben jenen von mir genannten Unterabschnitt "Mengendarstellung" zum Thema Kombinationen mit Wiederholung. Dort wird explizit auf solche Tupelsummen, wie wir sie hier haben, Bezug genommen. Die ganze Transformation (also jeweils 2 subtrahieren) habe ich ja genau deswegen vorgenommen, damit es direkt ablesbar ist.
 
 
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