Elliptische DGLs

14.07.2017, 18:48

alina94

Elliptische DGLs

Hey,

ich habe hier 2 Fragen zu elliptischen Differentialgleichungen. Ich habe folgende Definition gefunden:

Der Differentialoperator $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist definiert duch

$\begin{eqnarray*} Lu := -D_i(a_{ij}D_ju) + b_iD_iu + cu \end{eqnarray*}$ .

Wir nennen $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gleichmäßig elliptisch, wenn $\begin{eqnarray*} k > 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} k * || x||^2 \leq a_{ij}x_ix_j \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}^n, i,j=1,...,n \end{eqnarray*}$ .

Zunächst bin ich mir nicht sicher, wie ich $\begin{eqnarray*} -D_i(a_{ij}D_ju) \end{eqnarray*}$ verstehen muss. Ich bin die Summenkonvention noch nicht wirklich gewohnt, aber meiner Meinung nach wäre das nach Definition ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^{n} -D_i(a_{ij}D_ju) = \sum\limits_{i,j=1}^{n} - D_ia_{ij} D_ju - a_{ij} D^2_{i,j}u \end{eqnarray*}$

mit der Produktregel, aber das stimmt mit der Definition
hier offenbar nicht überein.

Dann wurde als Beispiel für einen gleichmäßig elliptischen Operator noch $\begin{eqnarray*} -\Delta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Delta = \end{eqnarray*}$ Laplaceoperator genannt. Das verstehe ich leider auch nicht, beim Laplaceoperator wären doch alle $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ gleich Null, dann kann doch eigentlich keine positive Konstante finden die diese Ungleichung erfüllt?

Vermutlich stehe ich gerade sehr auf der Leitung und es ist eigentlich simpel, aber ich komme im Moment nicht darauf. Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte, danke schon mal! smile

17.07.2017, 08:39

system-agent

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RE: Elliptische DGLs

Zitat:

Original von alina94
Zunächst bin ich mir nicht sicher, wie ich $\begin{eqnarray*} -D_i(a_{ij}D_ju) \end{eqnarray*}$ verstehen muss. Ich bin die Summenkonvention noch nicht wirklich gewohnt, aber meiner Meinung nach wäre das nach Definition ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^{n} -D_i(a_{ij}D_ju) = \sum\limits_{i,j=1}^{n} - D_ia_{ij} D_ju - a_{ij} D^2_{i,j}u \end{eqnarray*}$

Genau, nach der Summenkonvention soll über zweimal auftretende Indices summiert werden. Der Vergleich mit der Darstellung auf der Wikipediaseite hinkt deshalb, weil in Deiner Definition der Operator "in Divergenzform" vorliegen soll. Das kannst Du allerdings in die Darstellung auf Wikipedia umrechnen, sofern Du die Koeffizientenfunktionen anpasst. Letztlich ist die Divergenzform für die Analysis aber praktischer.

Was den Laplaceoperator angeht, was hälst Du von $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ [denke an die Summenkonvention!]?

18.07.2017, 20:13

alina94

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Oh, natürlich.
Mit $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} a_{ij}x_ix_j = \sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j =\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2 = ||x||^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte nicht daran gedacht die Summenkonvention auch hier anzuwenden und die Formel als einzelne Abschätzung für alle $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ betrachtet. Danke dir!

19.07.2017, 08:20

system-agent

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Ganz genau smile

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