Peano-Axiome

14.07.2017, 19:49	RobinSeeker	Auf diesen Beitrag antworten »
Peano-Axiome Seid gegrüßt! Folgendes Axiomensystem ist gegeben: (P1) 1 gehört zu N. (P2) Jedem n aus N ist genau eine natürliche Zahl n', Nachfolger genannt, zugeordnet. (P3) 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl. (P4) Aus m ungleich n folgt m' ungleich n' (P5) Induktionsprinzip. Aufgabe: a) Zeige: Für jedes n aus N ohne 1 existiert genau ein m aus N mit m' = n. Reicht es als Beweis, wenn ich (P4) negieren und dann m'=n' => m=n erhalte? Damit müsste ja gezeigt sein, dass der Vorgänger eindeutig ist. Oder was würdet ihr tun? Liebe Grüße!
14.07.2017, 23:29	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit hast du die Eindeutigkeit gezeigt, nicht aber die Existenz. Für diese wirst du das Induktionsprinzip brauchen. Das muss so sein, weil die Aussage für Mengen falsch ist, die nur (P1)-(P4) erfüllen. Zeige mit Induktion, dass $\begin{align} X := \{n\in\mathbb N:~n = 1\text{ oder es existiert $m\in\mathbb N$ mit $m'=n$}\} = \mathbb N \end{align}$
15.07.2017, 15:32	RobinSeeker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also (unter Nutzung der von dir vorgeschlagenen Menge): (i) 1 Element X nach Definition. (ii) (Induktion über n) (n=2) 2 ist Element X da 2 = 1'. Also angenommen n Element X, dann ist n = m' <=> n + 1 = m' + 1 <=> n' = (m+1)' Also n' Element X, damit X = N. Ja?
15.07.2017, 15:41	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu der Umweg? Das Induktionsinduktionsprinzip ist direkt anwendbar. Es ist $\begin{align} 1\in X \end{align}$ nach Definition und falls $\begin{align} n\in X \end{align}$ , so ist $\begin{align} n'\in X \end{align}$ , da für $\begin{align} n' \end{align}$ offensichtlich die andere Bedingung aus der Definition von $\begin{align} X \end{align}$ erfüllt ist, schließlich ist $\begin{align} n' = n' \end{align}$ . Bei deinem Weg ist a priori nicht klar, wieso es $\begin{align} m \end{align}$ gibt mit $\begin{align} n = m' \end{align}$ schließlich könnte $\begin{align} n=1 \end{align}$ sein. Da müsstest du also erst noch eine Fallunterscheidung machen, die aber eigentlich unnötig ist, wie man sieht.
15.07.2017, 16:00	RobinSeeker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso kannst du mit n' = n' argumentieren? Es geht doch um den Nachfolger in der Bedingung, die X stellt.
15.07.2017, 16:03	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu zeigen, dass $\begin{align} n'\in X \end{align}$ muss ich doch ein $\begin{align} m\in\mathbb N \end{align}$ finden, mit $\begin{align} m' = n' \end{align}$ . Dafür ist $\begin{align} m := n \end{align}$ perfekt geeignet, denn es gilt $\begin{align} n' = n' \end{align}$ .
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15.07.2017, 16:16	RobinSeeker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, verstehe, vielen Dank! Nur zum Verständnis der Art dieser Aufgaben noch: b) Beweisen Sie, dass die oben definierte Addition* eindeutig ist, d.h. für (n,m) Element N×N existiert n + m und ist eindeutig bestimmt. * n + 1 := n' und n + m' := (n+m)' Sei M = {n aus N \| m + n aus N und eindeutig für ein m aus N} Existenz: (i) 1 Element M, da m + 1 = m' Element N und nach a) eindeutig. (ii) Sei n Element M. Dann ist (n+m) + 1 nach (i) Element M und (n+m) + 1 = (n+1) + m. Also n+1 aus M, also M = N. Ja?

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