Linearkombination: Überprüfung von Lösung

14.07.2017, 21:11	Choa	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination: Überprüfung von Lösung Meine Frage: Der Vektor bT = (1;2; k) sei eine Linearkombination der Vektoren a1 und a2: aT1= (3; 0;2) und aT2=(2;1;5) Bestimmen Sie k ? R. Meine Ideen: Meine Parameter sind a, b und k. Ich habe für a=-1, b=-2 und k=-8 heraus. Kann jemand bestätigen ob dies richtig ist?
14.07.2017, 21:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den Vorzeichen stimmt etwas nicht, entweder in den Angaben oder in den Lösungen.
14.07.2017, 21:29	Choa	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stimmt b müsste 2 sein.
14.07.2017, 21:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch k paßt nicht.
14.07.2017, 21:46	Choa	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut zu wissen. Ich hatte probiert die Aufgabe mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen, aber ich habe dadurch nur nicht lösbare Sachen herausbekommen, danach habe ich die Vektoren einfach in ein einfaches Gleichungssystem umgewandelt und dieses durch Substitution gelöst. Aber anscheinend habe ich wohl beides falsch gemacht oder kannst du mir einen anderen Ansatz geben?
15.07.2017, 08:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Gauß-Algorithmus funktioniert das wunderbar. Aus den ersten beiden Koordinaten kann man die Koeffizienten der Linearkombination bestimmen. Und hat man diese, so geht man mit ihnen in die dritte Koordinate und erhält k.
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15.07.2017, 16:44	Choa	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie kann ich, denn den Gauß-Algorithmus anwenden, wenn ich nur 2 Vektoren habe? Oder setze ich etwa beide gleich?
15.07.2017, 16:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \lambda \, \vec{a_1} + \mu \, \vec{a_2} = \vec{b} \end{align}$ In den drei Koordinaten ist das ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $\begin{align} \lambda, \mu \end{align}$ : drei Gleichungen, zwei Unbekannte. Durch die Wahl von $\begin{align} k \end{align}$ in der letzten Gleichung wird die Lösbarkeit erzwungen. Wie du vorgehen sollst, habe ich in meinem letzten Beitrag bereits gesagt. Nicht reden - einfach tun!
15.07.2017, 17:25	Choa	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, genau dies hatte ich ja am Anfang gemacht und dennoch kamen falsche Ergebnisse heraus, deswegen entschuldige meine Verwirrtheit. Nachdem ich es nochmal berechnet habe, komme ich wieder bei k=-8 heraus, was aber auch falsch ist. Eventuell ist mein Lösungsweg einfach falsch. In der 2.Zeile ist der Parameter schon alleinstehend, also muss ich doch nicht mehr die Zeilen umformen, da ich mit diesem Parameter in die erste Zeile gehen kann, sowie du es beschrieben hast. Dadurch habe ich doch schon alles was für k benötige oder?
15.07.2017, 17:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ k \end{pmatrix} \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{cases} \text{(1)} \ \ 3 \lambda + 2 \mu = 1 \\ \text{(2)} \ \ \mu = 2 \\ \text{(3)} \ \ 2 \lambda + 5 \mu = k \end{cases} \end{align}$ Aus $\begin{align} \text{(1)} \end{align}$ erhält man, wenn man $\begin{align} \mu = 2 \end{align}$ einsetzt den Wert $\begin{align} \lambda = -1 \end{align}$ . Setzt man beide in $\begin{align} \text{(3)} \end{align}$ ein, erhält man $\begin{align} k = 8 \end{align}$ .

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