Reihenkoeffizientenbestimmung

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14.07.2017, 23:35

1lc

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Reihenkoeffizientenbestimmung

Hallo, Ich soll über den Hinweis (Ortogonalitätsbeziehung) dass

$\begin{eqnarray*} \int_0^a sin(\frac{my\pi}{a}) sin(\frac{ny\pi}{a}) dy = \frac{a}{2}\delta_{mn} \end{eqnarray*}$

ist die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$
bestimmen aus folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{V}{b}y=\sum_{n=1}^\infty c_n sin(k_ny). \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} k_n=\frac{\pi}{b}n \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Die 2. Gleichung mit $\begin{eqnarray*} sin(k_yy) \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Wobei ich mich frage ob das so einfach geht da $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ stehts zu einer Summe gehört.
Deswegen komme Ich auch nicht weiter. Ich würde gerne wissen wie Ich das formal korrekt auflöse nach $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ da dies für eine Klausur verlangt werden könnte und essentieller Bestandteil eines Aufgabenblocks sein kann.

15.07.2017, 05:41

HAL 9000

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Multipliziere dein $\begin{align*} \frac{V}{b}y = \sum_{n=1}^\infty c_n \sin\left(\frac{n y\pi}{b}\right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sin\left(\frac{m y\pi}{b}\right) \end{align*}$ (wobei $\begin{align*} m \end{align*}$ irgendeine natürliche Zahl ist) und integriere das dann von $\begin{align*} 0 \end{align*}$ bis $\begin{align*} b \end{align*}$ ...

15.07.2017, 12:34

1lc

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So?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b} \frac{V}{B}y \cdot sin(\frac{my\pi}{b}) dy = \int_0^b\sum_{n=1}^{\infty} c_n sin(\frac{ny\pi}{b}) \cdot sin(\frac{my\pi}{b}) dy \end{eqnarray*}$

Summe und Integral kann man hier ja vertauschen und das $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ kann man aus dem Integral herausziehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b} \frac{V}{B}y \cdot sin(\frac{my\pi}{b}) dy = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\int_0^bsin(\frac{ny\pi}{b}) \cdot sin(\frac{my\pi}{b}) dy \end{eqnarray*}$

Durch die Orthogonalitätsbedigung wird der rechte Term ja vereinfacht zu und es steht da:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b} \frac{V}{B}y \cdot sin(\frac{my\pi}{b}) dy = \sum_{n=1}^{\infty}c_n \cdot \frac{b}{2} =\frac{b}{2}\sum_{n=1}^{\infty}c_n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} m,n\in \mathbb{N} ; m=n \end{eqnarray*}$

Ist es bis dahin richtig? Wie komme Ich denn nun weiter? Ich will ja $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ herausfinden, weiß hier aber nur was die Summe aller $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ ergibt.

15.07.2017, 15:57

Clearly_wrong

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Wo ist auf einmal das Kronecker-Delta hin verschwunden, das oben noch dabei stand? Das ist nun weg, weil... ?

15.07.2017, 17:15

1lc

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oh stimmt ja, die letzte Gleichung müsste dann lauten:

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \frac{V}{B}y\cdot sin(\frac{my\pi}{b} dy) = \frac{b}{2}\sum_{n=1}^{\infty} c_n \delta_{mn} = \frac{b}{2} c_n \end{eqnarray*}$

Richtig?

Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ sind also:

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{2}{b}\int_0^b \frac{V}{B}y sin(\frac{ny\pi}{b}) dy \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nur wie man nun noch auf die Lösung kommt:?

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{2V}{\pi} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \end{eqnarray*}$

15.07.2017, 17:18

HAL 9000

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Nicht $\begin{align*} \frac{b}{2}c_n \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \frac{b}{2}c_{{\color{red}m}} \end{align*}$ !!!

Und was die weitere Frage betrifft: Man könnte ja versuchen, das Integral

$\begin{align*} \int\limits_0^b \frac{V}{b}y\cdot \sin\left(\frac{my\pi}{b}\right) ~ \dd y \end{align*}$

einfach mal auszurechnen. Oder ist die Idee so abwegig? Augenzwinkern

15.07.2017, 17:32

1lc

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nicht $\begin{align*} \frac{b}{2}c_n \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \frac{b}{2}c_{{\color{red}m}} \end{align*}$ !!!

Und was die weitere Frage betrifft: Man könnte ja versuchen, das Integral

$\begin{align*} \int\limits_0^b \frac{V}{b}y\cdot \sin\left(\frac{my\pi}{b}\right) ~ \dd y \end{align*}$

einfach mal auszurechnen. Oder ist die Idee so abwegig? Augenzwinkern

Ist das nicht okay? Da $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ gilt?
Alles klar Ich werde es mal ausrechnen

15.07.2017, 17:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von 1lc
Ist das nicht okay? Da $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ gilt?

Es geht um diese von dir aufgeschriebene Gleichung

Zitat:

Original von 1lc

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \frac{V}{B}y\cdot sin(\frac{my\pi}{b} dy) = \frac{b}{2}\sum_{n=1}^{\infty} c_n \delta_{mn} = \frac{b}{2} c_{{\color{red}n}} \end{eqnarray*}$

Und die ist mit deinem $\begin{eqnarray*} c_{{\color{red}n}} \end{eqnarray*}$ geschrieben ganz einfach Unfug, da gehört $\begin{eqnarray*} c_{{\color{red}m}} \end{eqnarray*}$ hin! Da gibt es nichts rumzudiskutieren! unglücklich

15.07.2017, 17:49

1lc

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Okay das stimmt:
Das Integral wird zu:

$\begin{eqnarray*} \left |-y cos(\frac{m\pi y }{b}) \cdot \frac{b}{m\pi}\right |_0^b + \frac{b}{m\pi} \int_0^b cos(\frac{m\pi y}{b}) dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{b}{m\pi} \left ( b \cdot cos(m\pi)) \right ) = \frac{b^2}{m\pi}(-1)^{m+1} \end{eqnarray*}$

Somit ist

$\begin{eqnarray*} c_m=\frac{2V}{m\pi}(-1)^{m+1} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ gilt ist $\begin{eqnarray*} c_n<br /> \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{2V}{n\pi}(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das sollte nun aber richtig sein.

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