Laplace oder Bernoulli?

15.07.2017, 00:38	Crysii	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace oder Bernoulli? Meine Frage: Guten Tag, Ich habe da eine Frage zu einer Aufgabe zu Wahrscheinlichkeitsrechnung, die mir bei der Prüfungsvorbereitung begegnet ist. Die Frage lautet: Es ist ein Kartenspiel mit 4 Karten gegeben: Bube, Dame, König und Ass, jeweils in der Farbe Herz. Die Karten werden gemischt und anschließend eine Karte gezogen. a) Um welche Art von Zufallsexperiment handelt es sich? b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4-maligem Ziehen mit Zurücklegen, genau 3 Könige zu ziehen? Meine Ideen: a) Da jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist, handelt es sich wohl um ein Laplace-Experiment b) Hier stellt sich mir die Frage, ob es sich jetzt um ein Bernoulli-Experiment handelt, noch immer um ein Laplace-Experiment oder sogar "Beides gleichzeitig". Man könnte ja sagen, es gibt die Ereignisse A="König gezogen" und B="keinen König gezogen" mit den Wahrscheinlichkeiten p(A)=1/4 und p(B)=3/4. Dann könnte man das Ergebnis doch mit Bernoulli ausrechnen: $\begin{eqnarray} p = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} * (1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} * \frac{1}{4}^{3} * (1-\frac{1}{4} )^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = \frac{3}{64} \end{eqnarray}$ Aber mit Laplace kommt man auch auf die gleiche Lösung: $\begin{eqnarray} p = \frac{\text{Anzahl guenstige Ergebnisse}}{\text{Anzahl gesamter Ergebnisse}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = \frac{12}{256} = \frac{3}{64} \end{eqnarray*}$ Ist das jetzt nur Zufall oder kann man solche Aufgaben immer mit Bernoulli und Laplace ausrechnen?
15.07.2017, 05:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli-Experimente mit rationalem (!) $\begin{align} p \end{align}$ kann man immer auch als Laplace-Experiment modellieren: Sei $\begin{align} p=\frac{r}{s} \end{align}$ mit natürlichen Zahlen $\begin{align} r,s \end{align}$ sowie $\begin{align} n \end{align}$ die Anzahl der Versuche, dann betrachten wir den Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{align} \Omega = \{1,2,\ldots,s\}^n = \left\{ (\omega_1,\ldots,\omega_n) \mid \omega_i\in\{1,\ldots,s\} \;\mbox{für}\; i=1,\ldots,n \right\} \end{align}$ und als "positiven Einzelversuchsausgang" betrachten wir die ersten $\begin{align} r \end{align}$ Werte, also $\begin{align} 1,\ldots,r \end{align}$ . In dem Sinne kann man für $\begin{align} \omega = (\omega_1,\ldots,\omega_n) \in \Omega \end{align}$ dann $\begin{align} X(\omega) := \left\| \left\{ i \Bigm\| \omega_i\in\{1,\ldots,r\} \right\} \right\| \end{align}$ definieren, dann "zählt" diese Zufallsgröße $\begin{align} X \end{align}$ die Anzahl der positiven Einzelversuchsausgänge, und wir haben die Laplacesche Wahrscheinlichkeit "günstig/alle" $\begin{align} P(X=k) = \frac{\binom{n}{k} r^k (s-r)^{n-k}}{s^n} \end{align}$ und das ist nichts anderes als das $\begin{align} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{align}$ von der Binomialverteilung. In deinem Fall mit $\begin{align} r=1,s=4,n=4 \end{align}$ . Ist hingegen $\begin{align} p \end{align}$ irrational, so ist diese Laplace-Modellierung des Bernoulli-Experiments nicht möglich.
15.07.2017, 11:20	Crysii	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles Klar, vielen Dank

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