Varietäten Isomorph

15.07.2017, 09:54	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Varietäten Isomorph Meine Frage: Hallo, Ich möchte gerne zeigen, dass die homogenen Abschlüssen V1,..,V3 in P^2 (projektiver Raum) isomorph zueinander sind. Wir haben V1= (x^2+y^2-z^2), V2= (xy- z^2), V3=(x^2-yz). Meine Ideen: Leider weiß ich nicht, wie ich vorgehen muss. Wir haben das so noch nicht gemacht
15.07.2017, 12:09	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varietäten Isomorph Kann mir denn niemand einen Tipp geben ?
16.07.2017, 14:11	123Gast456	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dass $\begin{eqnarray} V_2, V_3 \end{eqnarray}$ isomorph sind, sollte klar sein. Man findet leicht einen Isomorphismus durch tauschen der Variablen (beachte $\begin{eqnarray} V_3 = V(yz-x^2) \end{eqnarray}$ , da Konstanten nichts am Nullstellenort ändern). Nun möchten wir also (z.B.) einen Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray} V_1, V_2 \end{eqnarray}$ . Du hast leider nicht geschrieben, über welchem Körper du arbeitest, aber ich gehe einfach mal davon aus, dass dein Körper ein algebraisch abgeschlossener Körper $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ der Charakteristik $\begin{eqnarray} \neq 2 \end{eqnarray}$ ist. Dann ist der Tipp: Das Polynom $\begin{eqnarray} t^2+1 \in k[t] \end{eqnarray}$ zerfällt über $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren, d.h. $\begin{eqnarray} t^2+1 = (t+\epsilon)(t-\epsilon) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \epsilon^2 = -1 \end{eqnarray}$ . Faktorisiere nun $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ mittels der dritten binomischen Formel in $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , um einen geeigneten Isomorphismus anzugeben. Du kannst dir dann auch noch überlegen, was in Charakteristik $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ passiert...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »