Volumenintegral zur Berechnen eines Kegels

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NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral zur Berechnen eines Kegels
Guten Abend zusammen ,
komme bei einer Aufgaben nicht weiter.
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen Wink

Meine Aufgabe lautet:

Berechnen sie das Volumen des Kegels

.

Meine Ideen:

und
mit dem positiven als Oberen grenzen und Neagtive als Untere grenze

Also sähe mein Integral wie folgt aus



ist das Integral soweit richtig? und in welcher Reihenfolge muss ich jetzt integrieren? Das die grenzen von zwei variablen anhängen irritiert mich -.-

wo die grenzen nur von einer variablen abhängen ist für mich kein Problem

Vielleicht könnt ihr mir ja echt helfen

Danke Wink
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
erstens sind die Grenzen falsch. Bei deinem Ansatz
Zitat:

würdest du zuerst über z integrieren, wonach kein z mehr in den verbleibenden beiden Integralen auftauchen dürfte. Genausowenig dürfen die Grenzen für x von y abhängen, wenn du zuerst über y und dann über x integrierst.
Zweitens: Verwende Zylinderkoordinaten.

LG Dustin
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

wie müssen denn die Grenzen aussehen? wäre denn richtig erst nach x dann nach y und dann z zu integrieren? und sind die grenzen allgemein falsch eir ich sie aufgestellt habe oder nur die reihenfolge der integration?

Und Zylinderkoordinaten hatten wir leider noch nicht ... und werden wir auch nicht machen da wir gestern mit neuem Thema angefangen haben
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wäre denn richtig erst nach x dann nach y und dann z zu integrieren?

Ja.

Zitat:
und sind die grenzen allgemein falsch eir ich sie aufgestellt habe oder nur die reihenfolge der integration?

In der von dir vorgeschlagenen Reihenfolge sind nur noch die y-Grenzen falsch. Diese dürfen nicht von x abhängen, da du ja zuerst über x integrierst.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und Zylinderkoordinaten hatten wir leider noch nicht ... und werden wir auch nicht machen da wir gestern mit neuem Thema angefangen haben

Höchst seltsam und m.E. auch ziemlich sinnfrei... mit denen erspart man sich hier eine Menge Rechenarbeit.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Von außen zuerst über integrieren: , dann innen über alle integrieren mit . Das sieht dann so aus:



Wenn du dir das innere Integral anschaust, erkennst du, daß genau dieses Integral aufgestellt werden muß, wenn man den Flächeninhalt eines Kreises vom Radius berechnen will. Wenn du die Formel dafür von irgendwoher kennst, zum Beispiel aus der Vorlesung oder aus früheren Übungsaufgaben, kannst du sie hier verwenden. Andernfalls mußt du sie herleiten. Dafür sind Polarkoordinaten geeignet (und das sind mit Einbeziehung der Variablen für nichts anderes als die angesprochenen Zylinderkoordinaten). Falls dir auch Polarkoordinaten nicht bekannt sind, bleibt dir nichts anderes übrig, als hintereinander nach zu integrieren. Dann kann man sich die Aufgabe etwas vereinfachen. Aus Symmetriegründen genügt es, über einen Viertelkreis



zu integrieren und den Integralwert zu vervierfachen:



Der Vorteil ist, daß mit Fallunterscheidungen wegen des Vorzeichens bei Wurzeln oder Beträgen entfallen. Man kann die Integrationen mit 0 beginnen:



Und jetzt läuft das irgendwann auf den Arcussinus hinaus oder in bekannter Weise auf eine eindimensionale Substitution für die Variable in .
 
 
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finds halt auch komisch das wir keine Polar oder Zylinderkoordinaten gemacht haben was keinen sinn macht ^^

das mit dz über 0 und b zu integrieren versteh ich ja noch

aber warum integrierst du bei dy von 0 bis z ?

fühl mich da iwie echt dumm ...
ich steh da echt auf schlauch ... das einzige aufgabe die mir vom blatt schwierigkeiten bereitet ;/
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ein Beispiel:



Jetzt nehmen wir einmal :



Merkst du etwas?
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

dann wäre x^2 negativ und das kann ja nicht passieren bzw dann wäre x aus C
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den gewählten muß es ja Punkte geben, die die Ungleichung erfüllen.
Man sieht das auch rein geometrisch: Sieh dir den Viertelkreis vom Radius im I. Quadranten an. Nimm dann irgendeinen Punkt des Viertelkreises und projiziere ihn senkrecht auf die -Achse. Dann ist der -Wert immer zwischen und . Oder anders gesagt: Die -Koordinaten von Punkten des Viertelkreises variieren im Intervall .
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

glaub ich habs gecheckt danke dir ^^ so ich integriere dann mal und poste dann morgen mal das ergebnis ^^

Danke ^^
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