Beispiele für konvergente Produkte

16.07.2017, 23:17

Anni93

Beispiele für konvergente Produkte

Meine Frage:
Guten Abend!

Wollte mal Fragen ob ihr ein Paar Beispiele parat habt für konvergente unendliche Produkte. Bzw. ich beschäftige mich grad mit dem Zusammenhang von unendlichen Produkten und Reihen.
Mich würde z.B. auch interessieren
1. ob es Reihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ gibt die konvergieren, aber das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ dann nicht.
2. ob es Produkte $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ gibt die konvergieren, aber die $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ dann nicht.

Meine Ideen:
Dazu kenne ich bisher nur den Zusammenhang, dass wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, dann konvergiert auch das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ .

zu 1) Nun habe ich mir mal eine Reihe rausgesucht die nicht absolut konvergiert:
Bsp. $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} \end{eqnarray*}$ , diese konvergiert nun gegen ln(2). Aber das Produkt dazu $\begin{eqnarray*} \prod \limits_{n=1}^{\infty } (1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}) \end{eqnarray*}$ geht laut Wolfram Alpha gegen 1, somit doch auch konvergent, jemand ne Idee/Tipp für ein anderes Beispiel?

zu 2) Ich bin mir noch nicht sicher, aber ich denke dies ist garnicht möglich, da wenn das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ Konvergiert, schon die Reihe absolut konvergieren muss und wenn sie Absolut konvergiert, konvergiert sie ja schon.
Oder liege ich damit falsch? Gibt es dazu vielleicht einen Satz nach dem ich mal Googlen könnte?

17.07.2017, 09:46

HAL 9000

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Vielleicht solltest du dann doch bei 2. die Voraussetzungen etwas präzisieren: Es lassen sich problemlos Beispiele anbringen, im primitivsten Fall $\begin{align*} a_n=-1 \end{align*}$ , aber falls du $\begin{align*} a_n>-1 \end{align*}$ forderst, z.B. auch $\begin{align*} a_n=-\frac{1}{n+1} \end{align*}$ .

17.07.2017, 10:36

Anni93

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Hey HAL 9000 , die Beispiele verstehe ich leider nicht so ganz, es heißt doch das ein Produkt mit unendlich vielen Nullfaktoren divergent ist. Mit dem Beispiel $\begin{eqnarray*} a_{n}= -1 \end{eqnarray*}$ gäbe es ja in $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ unendlich viele Nullfaktoren und somit wäre das Produkt doch divergent !?

Und zum zweiten Beispiel mit $\begin{eqnarray*} a_{n}= -\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ wäre ja auch $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) =0 \end{eqnarray*}$ wenn ich das richtig verstehe, ist dieses Produkt konvergent, weil:

Mit der Beschreibung aus unserem Skript "Ein konvergentes Produkt ist genau dann Null, wenn wenigstens einer der Faktoren Null ist", somit konvergent da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } -\frac{1}{n+1} =0 \end{eqnarray*}$ ist.

Habe ich dies so richtig verstanden? Bitte korriegiere mich, wenn was falsch ist, da ich noch dabei bin diese unendlichen Produkte überhaupt erstmal zu verstehen und damit umzugehen smile

17.07.2017, 11:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anni93
es heißt doch das ein Produkt mit unendlich vielen Nullfaktoren divergent ist.

Unsinn: Ein Produkt mit bereits einem Nullfaktor ist gleich Null, erst recht also ein Produkt mit unendliche vielen Nullfaktoren. Und was bitte ist an Produktwert 0 divergent? unglücklich

Zitat:

Original von Anni93
Und zum zweiten Beispiel mit $\begin{eqnarray*} a_{n}= -\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ wäre ja auch $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) =0 \end{eqnarray*}$ wenn ich das richtig verstehe, ist dieses Produkt konvergent

Hier nun erkennst du die Konvergenz des Produkts an, welch Sinneswandel... Ja, war ja auch so beabsichtigt, es ging ja schließlich um ein Beispiel für 2., und da ist dann aber $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = -\infty \end{align*}$ divergent!!! Darum geht es doch. unglücklich

17.07.2017, 12:13

Anni93

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Entschuldige ich hätte wohl direkt einen Auszug aus unserem Skript anhängen sollen.

Die Formulierung die zu meinem Verdacht der Divergenz der ersten Folge führt, habe ich hier nochmal Rot unterstrichen...

Und mein Gedanke war nun, das durch $\begin{eqnarray*} a_{n}= -1 \end{eqnarray*}$ ein Produkt mit unendlich vielen Nullfaktoren beschrieben wird, was nun durch die unterstrichene Formulierung dann Divergent sein müsste oder wo ist mein Denkfehler?

17.07.2017, 12:21

IfindU

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Ich wollte erst sagen was fuer eine schraege Definition des Produktes das ist. Aber es ist wohl die uebliche, ich finde wenigstens keine andere. Ich nehme mal an HAL war diese auch nicht bewusst.

Man fordert explizit in der Definition von Konvergenz vom Produkt, dass nur endlich viele Nullen auftreten duerfen. Daher der "seltsame" Kommentar. Ausserdem divergiert nach der Definition HALs Beispiel, da der Grenzwert der Partialprodukte 0 ergibt.

17.07.2017, 12:38

HAL 9000

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Tja, dann ist das eine andere Produktkonvergenzdefinition, die Grenzwert 0 als divergent bezeichnet.

17.07.2017, 13:04

Anni93

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Wäre denn dann dein zweites Beispiel nach dieser Definition von Produktkonvergenz auch falsch?

Weil grundsätzlich wird ja 0 als Grenzwert zugelassen, nur darf die 0 nicht unendlich oft im Produkt vorkommen, was ja bei $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 -\frac{1}{n+1} ) \end{eqnarray*}$ auch nicht der Fall ist.
Jedoch ist das Produkt ja trotzdem Null und das als Produkt aller Nichtnullfaktoren, somit also auch Divergent?

Gibt es dann vielleicht doch garkein Beispiel was dies erfüllen kann, wie anfangs vermutet.
Bzw. gibt es vielleicht einen Satz/Theorem der dort eine Verbindung zwischen unendnlichen Produkten und Reihen herstellt ?
Leider haben wir dazu nämlich nichts im Skript stehen. verwirrt

17.07.2017, 13:49

IfindU

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Man kann HALs Beispiel leicht anpassen. Das Problem ist nur, dass das Produkt gegen 0 "konvergiert". Also definiert man die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ etwas anders. Die meisten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bleiben gleich, aber hin und wieder (man müsste mal rechnen wie oft genau) ersetzt man a_n durch -1000. Dadurch waechst das Produkt wieder ein ganzes Stueck im Betrag, und die Summe explodiert nun noch mehr.

Macht man es an den richtigen Stellen, so konvergiert das Produkt, aber die Reihe divergiert.

17.07.2017, 13:58

HAL 9000

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@IfindU

Irgendwie verstehe ich dein Beispiel nicht: Die Konvergenz des Produktes gegen etwas ungleich Null erfordert notwendig, dass die Einzelfaktoren gegen 1 konvergieren. Mit "gelegentlichen" -1000 ist das nicht drin. verwirrt

17.07.2017, 14:06

IfindU

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Massiver Denkfehler, danke. Man muss schon etwas vorsichtiger vorgehen. Damit kriegt man das Produkt nur beschraenkt und nicht konvergent.

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