Partikuläre Lösung bestimmen gDGL n-ter Ordnung

17.07.2017, 11:20	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Partikuläre Lösung bestimmen gDGL n-ter Ordnung Meine Frage: Guten Tag, Ich wollte fragen, wie ich einen Ansatz für die Partikuläre Lösung finden kann. Ich habe z.B. folgendes AWP: $\begin{eqnarray} y''+10y'-24y=12x^2+14x+1 , y(0)=-\frac{1}{2},y'(0)=1 \end{eqnarray}$ . Die homogene Lösung kriege ich immer recht gut hin. Die partikuläre Lösung macht mir immer Probleme, da es keinen eindeutigen, allgemeingültigen Ansatz gibt. Wie finde ich den Ansatz für die partikuläre Lösung? Wie würde ich einen Ansatz finden, wenn ich eine andere, beliebige a(x) auf der rechten seite stehen hätte? Gibt es richtlinien für so einen Ansatz? Meine Ideen: Als homogene Lösung des DGLs habe ich: $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{-9}{14}e^{2t}+\frac{1}{7}e^{-12t} \end{eqnarray}$ . Für die partikuläre Lösung habe ich jedoch keinen Ansatz. Ich finde verschiedene Ansätze im Internet, jedoch alle irgendwie anders und keine passend für meine Funktion. Daher nochmal meine Frage: Wie finde ich in dem Fall einen Ansatz? und: Wie finde ich allgemein einen Ansatz? Viele Grüße Matherialist
17.07.2017, 11:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partikuläre Lösung bestimmen gDGL n-ter Ordnung Allgemein kann ich es dir nicht sagen. Aber du nimmst eine Funktion und setzt diese links in die DGL ein. Du leitest etwas ab, und addierst die Ergebnisse. Das Ergebnis ist ein Polynom. Dann ist es nicht unwahrscheinlich, dass $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ bereits ein Polynom war. Setzt man $\begin{eqnarray} y(x) = a x^2 + bx + c \end{eqnarray}$ testweise ein, so sieht es recht sympathisch aus. Zu deiner Loesung: Bei der homogenen Loesung musst du die Koeffizienten nicht so bestimmen, so dass sie die Randbedingungen erfuellen. Nachdem man die partikulaere Loesung bestimmt hat, stehen die Chancen gut, dass die Koeffizienten andere sein muessen.
17.07.2017, 11:45	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partikuläre Lösung bestimmen gDGL n-ter Ordnung Also. Die Koeffizienten erst am Ende bestimmen? Dann ist es auch nicht so wichtig, dass die Koeffizienten der Partikulären Lösung y(x) nicht lösen? Also: Mit dem Ansatz kam folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray} yp(x)=-\frac{1}{2}x^2-1x-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yp'(x)=-x-1 \end{eqnarray}$ Zur Kontrolle wollte ich nun die Randbedingungen testen: $\begin{eqnarray} y(0)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ging zwar gut, jedoch ging $\begin{eqnarray} yp'(0)=1 \neq yp'(x)=-1 \end{eqnarray}$ in die Hose. Ist dies nun ein Zeichen, dass meine Lösung falsch ist, oder muss die Randbedingung nur bei der finalen Funktion $\begin{eqnarray} y=y_1+y_2 \end{eqnarray}$ gelten? Vielen Dank und Viele Grüe Matherialsit
17.07.2017, 11:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partikuläre Lösung bestimmen gDGL n-ter Ordnung Lösung habe ich nicht nachgerechnet, ausser den ersten Koeffizienten. Der sieht aber gut aus Und ja, jetzt hast du die allgemeine homogene Lösung (mit freien Koeffizienten statt den haesslichen Bruechen!) und eine spezielle Lösung. Wenn du die beiden zusammen addierst, loesen sie immer die DGL und du hast zwei freie Parameter, s.d. die Anfangswerte passen. Und weil es wichtig ist: Weder die homogene Lösung noch eine partikuläre Lösung muss die Anfangswerte erfüllen. Du suchst am Ende eine Funktion, welche die Differentialgleichung loest und die richtigen Anfangswerte hat. Niemand fordert, dass es die Summe aus der homogenen Lösung und partikulären Lösung, die jeweils die Anfangswerte erfüllen. Insbesondere bedeutet letzteres (außer in trivialen Fällen), dass die Gesamtlösung, die Anfangswerte nicht erfüllen kann. Ich mein damit: $\begin{eqnarray} y_{hom}(0) = -\frac 1 2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_{part}(0) = -\frac 1 2 \end{eqnarray}$ heisst $\begin{eqnarray} y := y_{hom} + y_{part} \end{eqnarray}$ erfuellt $\begin{eqnarray} y(0) = -\frac 1 2 - \frac 1 2 = -1 \end{eqnarray}$ und es erfuellt also $\begin{eqnarray} y(0) = -\frac 1 2 \end{eqnarray}$ nicht.
17.07.2017, 12:01	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partikuläre Lösung bestimmen gDGL n-ter Ordnung Ok. Vielen Dank. Und generell ein Hinweis, wie ich den Ansatz der partikulären Lösung finden kann gibt es nicht? Das fällt mir verdammt schwer da etwas herauszusehen. Und in der Klausur werde ich nicht unbedingt etwas mit der Form $\begin{eqnarray} x^2+ax+c \end{eqnarray}$ da stehen haben...
17.07.2017, 12:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partikuläre Lösung bestimmen gDGL n-ter Ordnung Offenbar funktioniert Variation der Konstanten auch in dem Fall. Allerdings wird die Rechnung ggf. ziemlich lang. Ich habe auf die schnelle die pdf gefunden: Jena. Dort ist eine Tabelle mit den häufigsten Störfunktionen gelistet. Bemerke auch den letzten Hinweis, dass man die Ansätze auch addieren und multiplizieren kann, wenn man die Störfunktion auch Summe/Produkt aus elemantereren Störfunktionen war.
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