Wie beschränkt man eine Funktion mit einer anderen Funktion?

17.07.2017, 16:03

Funki9999

Wie beschränkt man eine Funktion mit einer anderen Funktion?

Meine Frage:
Ich habe die Aufgabenstellung eine Funktion zu finden, die die folgende Funktion von oben beschränkt und relativ leicht integrierbar sein soll:

$\begin{eqnarray*} h (E) = N \cdot (1 + \alpha cos (\beta log10(E/E0))) \cdot (E/E0)^{-\gamma } \end{eqnarray*}$

Hier ist N ein Normierungsfaktor,
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta > 0 \end{eqnarray*}$ , E ist die Variable, E0 eine Konsante und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ebenso.

Meine Ideen:
Ich verstehe zwar beschränkte Funktionen, allerdings bin ich hier etwas mit der Aufgabenstellung überfragt. Ich verstehe nicht wie man eine Funktion mit einer anderen Funktion beschränken kann.

Oder muss ich einfach nur herausfinden was $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ damit h eine Obergrenze hat?

Bessere Ideen fallen mir leider nicht ein, wenn mir erklären könnte was ich tun muss wäre ich euch sehr Dankbar!

17.07.2017, 16:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Von welchem Integral redest du? $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} h(E) ~ \dd E \end{align*}$ ?

In dem Fall wäre es noch interessant, etwas über $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ zu erfahren. Also sowas wie $\begin{align*} \gamma>1 \end{align*}$ etwa... Augenzwinkern

17.07.2017, 16:50

Funki9999

Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich die Aufgabenstellung verstehe muss die neue Funktion, die ich herausfinden muss, relativ leicht integrierbar sein. [latex] \gamma [\latex] ist in diesem Fall > 0. In einer späteren Aufgabe wird es zu 2.5 festgelegt.

17.07.2017, 17:05

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Eventuell reicht es ja, die Beschränktheit des Cosinus auszunutzen.

Viele Grüße
Steffen

17.07.2017, 18:07

Funki9999

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion startet ja mit hohen Werten (abhängig vom Normierungfaktor) und fällt dann nach dem Potenygesetz steil ab, mit ein paar Hügel die vom cosinus erzeugt werden.
Aber was ich nicht verstehe ist wie ich eine andere Funktion finden soll, die diese (h) beschränkt. Von daher wüsste ich noch nicht mal wie ich die Beschränktheit vom cosinus ausnutzen könnte. Was macht man wenn man eine Funktion durch eine andere beschränkt? Ich habe versucht es zu googlen, aber habe nichts nützliches gefunden. Stelle ich h irgendwie um? Setze ich eine Funktion in h irgendwie ein?

17.07.2017, 18:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider keine Antwort auf meine Frage nach dem Integrationsbereich. $\begin{align*} \gamma \leq 1 \end{align*}$ macht potentiell Ärger hintenraus bei $\begin{align*} E\to\infty \end{align*}$ , $\begin{align*} \gamma \geq 1 \end{align*}$ hingegen vorn bei $\begin{align*} E\to 0 \end{align*}$ - da wird die Luft dünn zwischen diesen beiden Werten... verwirrt

EDIT: Kann aber auch sein, dass du gar nicht "integrierbar" meinst, wo du "integrierbar" sagst, sondern "geschlossen integrierbar", was etwas völiig anderes ist. Augenzwinkern

17.07.2017, 18:20

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Funki9999
Von daher wüsste ich noch nicht mal wie ich die Beschränktheit vom cosinus ausnutzen könnte.

Du kennst die Obergrenze des Cosinusterms. Daher könntest Du diesen damit ersetzen.

17.07.2017, 18:48

Funki9999

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry Hal,

Wenn man h integrieren würde, dann würde man von Emin bis Emax integrieren, alles positive Zahlen. Aber ich glaube nicht, dass h integriert werden muss. Hier ist der genaue Wortlaut der Aufgeabenstellung:

"Find a suitable function that bounds h from above and has a relatively easy to compute integral."

Das ist alles. Das wäre dann auch nicht geschlossen integrierbar. $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ wird ja später auf 2.7 gesetzt, also gehe ich davon aus, dass der Bereich <1 getrost ignoriert werden darf.

@ Steffen: Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe: selbst wenn ich die Cosinus Obergrenze einsetzte (also meine Zahlen so wähle, dass der Cosnuis 1 wird), bleibt dann das Potenzgesetz stehen, welches nicht beschränkt ist. Von daher glaube ich nicht, dass das zur Lösung führt. Trotzdem vielen Dank!

17.07.2017, 20:09

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie beschränkt man eine Funktion mit einer anderen Funktion?
Hm, wenn der Cosinus maximal Eins wird, wird
$\begin{eqnarray*} h (E) = N \cdot (1 + \alpha cos (\beta log10(E/E0))) \cdot (E/E0)^{-\gamma } \end{eqnarray*}$
maximal
$\begin{eqnarray*} h (E) = N \cdot (1 + \alpha) \cdot (E/E0)^{-\gamma } \end{eqnarray*}$
und wegen $\begin{eqnarray*} 0 \leq \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ wird das maximal
$\begin{eqnarray*} h (E) = N \cdot 2 \cdot (E/E0)^{-\gamma } \end{eqnarray*}$
und davon kann man das Integral direkt hinschreiben.

18.07.2017, 16:50

Funki9999

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, du hast Recht Steffen! Das macht Sinn. Vielen Dank Steffen und Hal smile

Neue Frage »

Antworten »

Wie beschränkt man eine Funktion mit einer anderen Funktion?

Verwandte Themen