Gradient / Funktion mit mehreren Variablen |
| 17.07.2017, 20:48 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gradient / Funktion mit mehreren Variablen Hallo zusammen, ich wollte fragen ob folgende Funktion für euch einen Sinn ergibt:p(t)=(t+cos(t),sin(t)). Das ganze soll ein Teilchen in einem Temperaturfeld sein. Ich dachte zuerst das mit dem Komma wäre vielleicht ein Fehler in der Aufgabenstellung, aber dann wären da ja vermutlich auch keine klammern. Meine Ideen: Kann mir jemand sagen was das Komma bedeutet? Ich muss die Funktion skizzieren und komme so gerade nicht weiter. Liebe Grüße |
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| 17.07.2017, 21:25 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, ja, das ergibt durchaus Sinn. Es handelt sich um eine vektorwertige Funktion, das Komma trennt die Komponenten: . Was fehlt, ist allerdings eine Definitionsmenge für t. LG Dustin |
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| 17.07.2017, 21:39 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, vielen Dank ;-) Im folgenden muss ich nun prüfen wie die Temperaturänderung zum Zeitpunkt t=pi ist. Ich würde jetzt den gradienten von meinem Temperaturfeld bilden und die Werte aus p(pi) einsetzen 
kling das richtig? |
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| 17.07.2017, 22:18 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch nicht ganz. Gesucht ist mathematisch gesehen die totale Ableitung der Temperatur T nach der Zeit t, und nach der mehrdimensionalen Kettenregel ist das . Also musst du das, was du berechnen wolltest, noch ins Skalarprodukt (so ist der Malpunkt hier zu verstehen) mit der Ableitung p'(t) setzen. |
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| 17.07.2017, 23:02 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay vielen Dank !!! Ich komme jetzt auf . Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das zum überprüfen bei wolfram alpha eingeben kann 
Hoffe mal das stimmt :-) |
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| 17.07.2017, 23:20 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn wolfram alpha sprechen könnte, würde es dir höchstwahrscheinlich seufzend sagen, dass du eine zwar unter Schülern sehr beliebte, aber leider falsche Formel für das Skalarprodukt verwendet hast, nämlich Richtig ist stattdessen - bitte unbedingt weitersagen und in die Welt verbreiten! - . Außerdem habe ich da noch ein Vorzeichen im Exponenten anders. |
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| 18.07.2017, 09:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Neben dem verunglückten Skalarprodukt hast du noch einen Vorzeichenfehler im Exponenten. Richtig ist: 
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| 18.07.2017, 11:30 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank euch ;-) Im folgenden habe ich einen Punkt gegeben und soll gucken in welcher Richtung der stärkste Temperaturanstieg gegeben ist. Dafür muss ich nun aber einfach in den grad(T) einsetzten und aus dem Vektor die Länge rausdividieren oder? LG |
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| 18.07.2017, 11:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das klingt nach einem Plan.
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| 18.07.2017, 11:43 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay supi ;-) gibt der Betrag des Vektors nun die Höhe der Temperaturänderung an?
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| 18.07.2017, 11:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da müßtest du etwas genauer beschreiben, von welchem Vektor du redest.
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| 18.07.2017, 12:00 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Vektor der die Richtung der stärksten Temperaturänderung angibt. Der Betrag dieses Vektors gibt die Höhe der Änderung an oder? Jetzt soll ich gucken, wie die Änderung ist, wenn sich das Teilchen parallel zu einem anderen Vektor bewegt.... da stehe ich schon wieder auf dem Schlauch.... musste gerade an Geradengleichungen in der Schule und Ortsvektor und Richtungavektor denken 
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| 18.07.2017, 12:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip ja, sofern du diesen Vektor nicht normiert hast. Das wolltest du ja im Schritt vorher für die Bestimmung der Richtung machen.
Bilde das Skalarprodukt aus dem Gradienten und dem Einheitsvektor, der in Richtung des "anderen" Vektors zeigt. |
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| 18.07.2017, 12:15 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, nee den hab ich nur für die Richtungsangabe normiert ;-) Setze ich in den Gradienten dann meinen Punkt ein ,ja oder? Und dann skalar mit dem Einheitsvektor von (3,4) meinem parallel laufendem Vektor multiplizieten? |
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| 18.07.2017, 12:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So würde ich es machen.
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| 18.07.2017, 13:26 | Alex0708 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay vielen vielen Dank! Ich verstehe nur noch nicht ganz genau warum, weil grad(T(1,1)) ja die Änderung in diesem Punkt angibt, der Einheitsvektor von (3,4) die Richtung von (3,4) . Aber inwiefern gibt mir das Skalarprodukt davon die Änderung, wenn ich parallel zu dem Vektor gehe
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| 18.07.2017, 14:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Zusammenhang zwischen der Richtungsableitung der Funktion f im Punkt a in Richtung eines Einheitsvektors v und dem Gradienten ist nun mal: (Siehe dazu dein Vorlesungsskript oder ein Analysis-Buch) Die Richtungsableitung in Richtung (3,4) ist also das Skalarprodukt aus dem Gradienten von und dem Einheitsvektor in Richtung (3,4). |
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