Markov-Prozess II

18.07.2017, 10:48

Sabbse92

Markov-Prozess II

Guten Tag,

Sei $\begin{eqnarray*} \displaystyle (X_k)_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Familie identisch verteilter unabhängiger $\begin{eqnarray*} \displaystyle \{-1,1\} \end{eqnarray*}$ -wertiger Zufallsvariablen:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle P(X_k=1)=p \quad \quad P(X_k=-1)=1-p=:q \end{eqnarray*}$

Wir setzten $\begin{eqnarray*} \displaystyle S_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \displaystyle S_n= \sum_{i=1}X_i \end{eqnarray*}$

(1) Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{n+1,k}=P(S_{n+1}=k|S_0=0) = p\cdot p_{n,k-1} + q\cdot p_{n,k+1} \end{eqnarray*}$ und die Randbedingungen $\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{0,0}=1 , p_{0,k}=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{n+1,k}=P(S_{n+1}=k) = \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} q^{\frac{n-k+1}{2}} \cdot p^{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin sollte alles korrekt sein (für eine genauere Herleitung, hier nachschauen http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=579607)

Der nächste Schritt sollte sein,

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

umzuschreiben. Ich sehe aber nicht wie.

Gruß
Sabrina

18.07.2017, 17:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sabbse92
(1) Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{n+1,k}=P(S_{n+1}=k|S_0=0) = p\cdot p_{n,k-1} + q\cdot p_{n,k+1} \end{eqnarray*}$ und die Randbedingungen $\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{0,0}=1 , p_{0,k}=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{n+1,k}=P(S_{n+1}=k) = \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} q^{\frac{n-k+1}{2}} \cdot p^{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin sollte alles korrekt sein (für eine genauere Herleitung, hier nachschauen http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=579607)

Ok, du hast beides also nachgewiesen (die zweite Gleichung ja erst gestern in dem Thread).

Zitat:

Original von Sabbse92
Der nächste Schritt sollte sein,

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

umzuschreiben.

Du sprichst in Rätseln: Zu welchem Zweck willst du das "umschreiben"? Und inwiefern soll das der nächste Schritt sein? Erstaunt1

19.07.2017, 10:44

Sabbse92

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Zitat:

Du sprichst in Rätseln: Zu welchem Zweck willst du das "umschreiben"? Und inwiefern soll das der nächste Schritt sein? Erstaunt1

Um von

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{n+1,k}= \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} q^{\frac{n-k+1}{2}} \cdot p^{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{n+1,k}= p\cdot p_{n,k-1} + q\cdot p_{n,k+1} \end{eqnarray*}$

zu kommen, bin ich intuitiv davon ausgegangen, dass ich $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$ umschreiben sollte um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen.

Wie soll den nun weitermachen? Mir fällt nichts ein, wie ich

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} q^{\frac{n-k+1}{2}} \cdot p^{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

weiter umschreiben könnte, um auf das Ergebnis zu kommen.

Gruß Sabrina

19.07.2017, 12:36

HAL 9000

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Ich würde gar nicht versuchen, von der expliziten Darstellung auf $\begin{align*} p_{n+1,k}= p\cdot p_{n,k-1} + q\cdot p_{n,k+1} \end{align*}$ zu schließen, sondern letztere Rekursion schlicht aus dem inhaltlichen Zusammenhang des Problems herleiten:

$\begin{align*} P(S_{n+1}=k) &= P(S_{n+1} =k,X_{n+1}=1) + P(S_{n+1}=k,X_{n+1}=-1) = P(S_n+X_{n+1}=k,X_{n+1}=1) + P(S_n+X_{n+1}=k,X_{n+1}=-1)\\ &= P(S_n=k-1,X_{n+1}=1) + P(S_n=k+1,X_{n+1}=-1) \stackrel{!}{=} P(S_n=k-1)P(X_{n+1}=1) + P(S_n=k+1)P(X_{n+1}=-1) \end{align*}$ ,

letzteres wegen der Unabhängigkeit von $\begin{align*} S_n \end{align*}$ (gebildet aus $\begin{align*} X_1,\ldots,X_n \end{align*}$ ) und $\begin{align*} X_{n+1} \end{align*}$ .

19.07.2017, 13:51

Sabbse92

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(Sn+1=k)=P(Sn+1=k,Xn+1=1)+P(Sn+1=k,Xn+1=&#8722;1) \end{eqnarray*}$

Es ist so simpel, aber darauf selbst zu kommen, klappt nur selten....

In der Teilaufgabe, muss man noch zeigen, dass die Randbedingungen

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{0,0}=1 , p_{0,k}=0 \medspace k\neq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

erfüllt werden.

- Man startet (per Voraussetzung) in 0 und befindet sich dementsprechend nach 0-Schritten immer noch in 0. Es handelt sich also um ein sicheres Ereignis und tritt deshalb mit W'keit 1 ein.

- $\begin{eqnarray*} k\neq 0 \end{eqnarray*}$ in 0-Schritten zu erreichen, ist ein unmögliches Ereignis. Deswegen tritt dieses Ereignis mit W'keit 0 an.

Ist die Argumentation korrekt?

(2) Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} n+k \end{eqnarray*}$ gerade und $\begin{eqnarray*} |k|<n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} = \binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

Um diese Gleichheit zu zeigen, würde ich die Gleichung aus der ersten Teilaufgabe benutzen.

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \displaystyle p_{n+1,k}= \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} q^{\frac{n-k+1}{2}} \cdot p^{\frac{n+k+1}{2}} \overset{}{=} p \cdot \binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} q^\frac{n-k+1}{2} p^\frac{n+k-1}{2} \textbf{+} q \cdot \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}} q^\frac{n-k-1}{2} p^\frac{n+k+1}{2} = q^{\frac{n-k+1}{2}} p^{\frac{n+k+1}{2}} \cdot (\binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}}) \end{eqnarray*}$

Hieraus folgt, dass

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} = \binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

Hierfür benutze ich aber ein Resultat aus einem anderen Aufgabenblatt (was wir gestern besprochen hatten) .

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \displaystyle p_{n+1,k}= \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} q^{\frac{n-k+1}{2}} \cdot p^{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

Gibt es auch eine Methode die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} = \binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

direkt zu zeigen?

Gruß
Sabrina

19.07.2017, 14:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sabbse92
Gibt es auch eine Methode die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} = \binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

direkt zu zeigen?

Das ist nichts anderes als die vom Pascalschen Dreieck her bekannte Identität

$\begin{align*} \binom{n+1}{m+1} = \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} \end{align*}$

angewandt auf $\begin{align*} m=\frac{n+k-1}{2} \end{align*}$ . Dafür gibt es zig verschiedene Beweise, darunter sogar solche, die für beliebig reelle oder sogar komplexe Zahlen $\begin{align*} n \end{align*}$ funktionieren (dann natürlich mit erweiterter Definition des Binomialkoeffizienten), es bleibt aber bei natürlichen $\begin{align*} m \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Sabbse92
(2) Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} n+k \end{eqnarray*}$ gerade und $\begin{eqnarray*} |k|<n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} = \binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}} \end{eqnarray*}$

Da hast du dich mit den Indizes verstolpert - hier muss " $\begin{align*} n+k+1 \end{align*}$ gerade" gleichbedeutend mit " $\begin{align*} n+k \end{align*}$ ungerade" gefordert werden. unglücklich

P.S.: Überhaupt würde ich dringend abraten, die ellenlangen Formeln mit diesen $\begin{align*} \frac{n\pm k\pm 1}{2} \end{align*}$ Konstrukten aufzublasen: Schreibt man Zeile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle p_{n+1,k}= \binom{n+1}{\frac{n+k+1}{2}} q^{\frac{n-k+1}{2}} \cdot p^{\frac{n+k+1}{2}} \overset{}{=} p \cdot \binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} q^\frac{n-k+1}{2} p^\frac{n+k-1}{2} \textbf{+} q \cdot \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}} q^\frac{n-k-1}{2} p^\frac{n+k+1}{2} = q^{\frac{n-k+1}{2}} p^{\frac{n+k+1}{2}} \cdot (\binom{n}{\frac{n+k-1}{2}} + \binom{n}{\frac{n+k+1}{2}}) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{align*} m=\frac{n+k-1}{2} \end{align*}$ , so wird daraus das erträglichere

$\begin{align*} p_{n+1,k} = \binom{n+1}{m+1} q^{n-m} p^{m+1} = p \cdot \binom{n}{m} q^{n-m} p^m + q \cdot \binom{n}{m+1} q^{n-m-1} p^{m+1} = q^{n-m} p^{m+1} \cdot \left(\binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} \right) \end{align*}$ ,

welches meine müden alten Augen nicht mehr ganz so anstrengt. Augenzwinkern

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