Differenzierbarkeit und Stetigkeit beweisen

18.07.2017, 13:43

PhysX

Differenzierbarkeit und Stetigkeit beweisen

Hallo,

ich bin zurzeit am üben und sitze vor folgender Aufgabe:
[attach]44913[/attach]

Damals hatten wir die Aussage (Diffbar-> Stetig) so gezeigt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} f(a+h)-f(a)= \lim_{h\to 0} {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\cdot h} =\lim_{h\to 0} {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\cdot \lim_{h\to 0}h}=f'(a)\cdot0=0 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht so sicher wie ich die Aussagen zeigen soll für einen Punkt (a,b)

Für Hilfe wäre ich dankbar

lg

18.07.2017, 14:10

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit und Stetigkeit beweisen
In analoger Weise mußt du die Differenzierbarkeit nutzen. Wie ist denn diese definiert?

18.07.2017, 14:47

PhysX

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RE: Differenzierbarkeit und Stetigkeit beweisen
Soweit ich weiß:

F ist differenzierbar in
$\begin{eqnarray*} (x,y) \Rightarrow \forall h \in \mathbb R ^2:<br /> f(a+h, b+k)=f(a,b)+ \nabla f(a,b)*h+r(h) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{r(h)}{|h| } \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$

18.07.2017, 15:05

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit und Stetigkeit beweisen
Etwas unglücklich ist, daß du das h in mehreren Bedeutungen verwendest. Mit h aus R² könnte man es so retten:

$\begin{eqnarray*} f((a, b) + h) - f(a, b) = \nabla f(a,b)*h + r(h) \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du das h gegen Null gehen lassen.

18.07.2017, 15:26

PhysX

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Ok. Also wäre der Beweis für f diffbar in (a,b), dann f stetig in (a,b)

$\begin{eqnarray*} f((a, b) + h) - f(a, b) = \nabla f(a,b)*h + r(h) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{r(h)}{|h| } \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$

Es gilt ja die Relation Differenzierbar -> Stetig, aber nicht Stetig -> Differenzierbar.

Wie kann ich den Stetig -> Differenzierbar wiederlegen?

18.07.2017, 15:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von PhysX
$\begin{eqnarray*} f((a, b) + h) - f(a, b) = \nabla f(a,b)*h + r(h) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{r(h)}{|h| } \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$

Du solltest da schon noch etwas deutlicher erläutern, daß sowohl $\begin{eqnarray*} \nabla f(a,b)*h \end{eqnarray*}$ als auch r(h) gegen Null gehen.

Zitat:

Original von PhysX
Wie kann ich den Stetig -> Differenzierbar wiederlegen?

Nun ja, ich würde ein geeignetes Beispiel angeben. Überlege, welche Funktion du im Eindimensionalen nehmen würdest.

Und es heißt widerlegen. Augenzwinkern

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