Berechnungen am beliebigen Dreieck

18.07.2017, 18:46

Veddy

Berechnungen am beliebigen Dreieck

Meine Frage:
Im Dreieck ABC gilt:
M ist der Seitenmittelpunkt.
alpha=Epsilon=45°

Wie gross sind beta und gamma

Meine Ideen:
Hallo Ihr Lieben

Ich habe diese Aufgabe an der ich seit Stunden frustriert dran bin.
Ich habe wie ihr seht schon versucht Gleichungen aufzustellen, jedoch schaffe ich es einfach nicht weitere Gleichungen aufzustellen die Sinn machen.

Ich wäre sehr froh um eure Hilfe.

18.07.2017, 18:54

HAL 9000

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Nach Ähnlichkeitssatz WW ist $\begin{align*} ABC\sim MAC \end{align*}$ , das bedeutet

$\begin{align*} \frac{|AC|}{|BC|} &= \frac{|MC|}{|AC|}<br /> \frac{b}{a} &= \frac{a}{2b}<br /> a &= \sqrt{2}b \end{align*}$

Damit gilt $\begin{align*} \sin(\beta) = \frac{b}{a}\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \beta=30^{\circ} \end{align*}$ .

EDIT: Es gibt auch eine "winkelfunktionsfreie" Erklärung für den letzten Teil: Wir haben ja gerade den Ähnlichkeitsfaktor $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ zwischen den beiden Dreiecken $\begin{align*} ABC \end{align*}$ und $\begin{align*} MAC \end{align*}$ berechnet, es ist daher auch $\begin{align*} c=|AB|=\sqrt{2}\cdot |MA| \end{align*}$ . Nun betrachten wir folgende Skizze:

[attach]44922[/attach]

$\begin{align*} A' \end{align*}$ entsteht, indem man $\begin{align*} A \end{align*}$ an der Mittelsenkrechten von $\begin{align*} BC \end{align*}$ spiegelt. Dann ist bei den gegebenen Voraussetzungen $\begin{align*} AA'M \end{align*}$ ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck, es gilt für dessen Hypotenuse daher $\begin{align*} |AA'| = \sqrt{2}\cdot |MA| \end{align*}$ . Nach den vorgenannten Betrachtungen ist dann aber $\begin{align*} |AA'|=|AB| \end{align*}$ , es ist somit Dreieck $\begin{align*} A'BA \end{align*}$ gleichschenklig. Damit folgt per Innenwinkelsumme im Dreieck $\begin{align*} A'AB \end{align*}$

$\begin{align*} 180^{\circ} = |\angle BAA'| + 2|\angle AA'B| = |\angle ABC| + 2|\angle A'AC| = \beta + 2(\alpha+\beta) = 90^{\circ}+3\beta \end{align*}$ ,

umgestellt zu $\begin{align*} \beta=30^{\circ} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Veddy
Ich habe diese Aufgabe an der ich seit Stunden frustriert dran bin. [...] Ich wäre sehr froh um eure Hilfe.

Aus dem ersten Satz hatte ich eigentlich auf Interesse an dem Thema geschlossen, genau wie bei den anderen beiden Anfragen, die du hier im Minutentakt abgeladen hast. Angesichts der ausbleibenden Reaktion scheint das wohl eher doch nicht der Fall zu sein, schade um die Zeit.

20.07.2017, 13:17

sulo

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Zitat:

Original von HAL 9000
Aus dem ersten Satz hatte ich eigentlich auf Interesse an dem Thema geschlossen, genau wie bei den anderen beiden Anfragen, die du hier im Minutentakt abgeladen hast. Angesichts der ausbleibenden Reaktion scheint das wohl eher doch nicht der Fall zu sein, schade um die Zeit.

@HAL
Ich habe gerade dein edit entdeckt und akutell keine Zeit, das zu in Ruhe durchdenken, werde es aber sehr gerne heute Abend nachholen.
Sicherlich bin ich nicht die einzige, die die Aufgabe interessant findet und dir dankbar ist für die Mühe, die du dir damit gemacht hast.

Wink

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