Fehlerabschätzung Fixpunktiteration

18.07.2017, 20:25

Matherialist

Fehlerabschätzung Fixpunktiteration

Meine Frage:
Guten Tag,
Ich soll eine Fehlerabschätzung für folgende Funktion durchführen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{6}xe^{x^{2}-1}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Dabei soll ich abschätzen, wie viele Iterationen ich brauche bis der Fehler $\begin{eqnarray*} \leq 10^-8 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Ich habe bereits die Kontrationskonstante bestimmt $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und die A-Priori Abschätzung auf folgenden Term hinuntergebrochen:
$\begin{eqnarray*} 10^{-8} \geq (\frac{1}{2})^{k} \end{eqnarray*}$ .
Nun ist mein Ansatz per Trial and Error beliebige k einsetzen, bis es passt. (Dabei natürlich mich der Lösung annähern und keine völlig zufälligen Zahlen einsetzen).
Dabei ich bei mir rausgekommen, dass $\begin{eqnarray*} k=27 \end{eqnarray*}$ ist. In der Klausur hätte ich da eventuell nicht die Zeit für maximal einen Punkt so viel Zeit zu verschwenden. Hat jemand einen Tipp, wie ich dies besser, gar analytisch lösen könnte, statt Iterativ?

Viele Grüße

Matherialist

18.07.2017, 20:51

Helferlein

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Nutze den logarithmus.

18.07.2017, 21:50

Matherialist

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Dann habe ich ja ein ln(2^-x). Bringt mir ohne Taschenrechner noch weniger. Mit Logarithmen im Kopf rechnen würde es mir glaube ich noch schwerer fallen.

18.07.2017, 23:23

Helferlein

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RE: Fehlerabschätzung Fixpunktiteration

Zitat:

Original von Matherialist
$\begin{eqnarray*} 10^{-8} \geq (\frac{1}{2})^{k} \end{eqnarray*}$ .
Nun ist mein Ansatz per Trial and Error beliebige k einsetzen, bis es passt.

Wie hast Du das dann ohne TR hinbekommen?

Aber mal abgesehen von der Herleitung einer exakten Lösung mit dem Logarithmus, geht es ja nur um eine Abschätzung.

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} 10=8 \cdot 1,25< 8 \sqrt 2 = 2^{3,5} \end{eqnarray*}$ Somit erfüllt $\begin{eqnarray*} k=8 \cdot 3,5 = 28 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung.

19.07.2017, 10:19

Matherialist

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Naja. Die Formel der A-Priori Abschätzung war in dem Fall:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}^k}{\frac{1}{2}}*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Da habe ich jetzt keinen TR gebraucht. Ich habe einfach gekürzt

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