Varianz eines Schätzers für die obere Grenze einer Gleichverteilung

18.07.2017, 22:01

Jamen

Varianz eines Schätzers für die obere Grenze einer Gleichverteilung

Meine Frage:
Ziel ist es die Obergrenze einer Gleichverteilung zu bestimmen. Die Verteilungsfunktion ist

$\begin{eqnarray*} \frac{X}{\theta} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq X \leq \theta \end{eqnarray*}$

Ein simpler Ansatz für einen Schätzer, der eine Anzahl N Realisierungen von X zur Schätzung verwendet, für theta ist

$\begin{eqnarray*} T(X_1,...,X_N) = \frac{2}{N} \cdot \sum\limits_{i=1}^{N} x_i \end{eqnarray*}$

Ich habe bereits den Erwartungswert des Schätzers berechnet, der ist theta, und möchte nun die Varianz des Schätzers bestimmen.

$\begin{eqnarray*} Var[T] = E[T^2] - E[T]^2 \end{eqnarray*}$

und scheitere da am Erwartungswert von T^2.

Meine Ideen:
Wenn ich den Erwartungswert über den Transformationssatz

$\begin{eqnarray*} E[T^2] = \int_{-\infty}^{\infty} \! T(X_1,..,X_N)^2 \cdot f_T(X_1,...,X_N) \, dx \end{eqnarray*}$

berechnen möchte, scheitere ich erstens an der korrekten Formulierung der Integrationsvorschrift (welches Differenzial) und der Verteilungsfunktion f_T. Kurz gesagt, ich habe keine Ahnung, wie ich weitermachen soll.

18.07.2017, 22:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum so kompliziert? Es ist $\begin{align*} \operatorname{Var}\left( \sum_i X_i \right) = \sum_i \operatorname{Var}\left( X_i \right) \end{align*}$ , sofern die $\begin{align*} X_i \end{align*}$ paarweise unabhängig sind, das ist hier der Fall. Da sie zudem identisch verteilt sind, gilt einfach

$\begin{align*} \operatorname{Var}(T) = \frac{4}{N^2}\cdot \operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^N X_i \right) = \frac{4}{N^2}\cdot \sum_{i=1}^N \operatorname{Var}\left( X_i \right) = \frac{4}{N}\cdot \operatorname{Var}\left( X_1 \right) \end{align*}$ .

18.07.2017, 22:38

Jamen

Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich traurig, dass ich da noch nicht drauf gekommen bin Hammer

. Ich wusste nicht, dass die Realisierungen statistisch unabhängig sind (muss wohl an meinem Recht geringen Verständnis von Stochastik liegen unglücklich

).

Ich wäre dir sehr verbunden, wenn du mir trotzdem die Lösung über obiges Integral zeigen könntest, damit ich für den Fall gewappnet bin.

18.07.2017, 22:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jamen
Ich wusste nicht, dass die Realisierungen statistisch unabhängig sind.

Das ist DIE Grundvoraussetzung an eine mathematische Stichprobe. Ohne diese Voraussetzung kannst du die ganze Statistik in die Tonne treten, da läuft nix mehr. Ich verstehe nicht, wie man über Schätzer sprechen kann und dies nicht weiß. Erstaunt1

18.07.2017, 23:07

Jamen

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, Ingenieur halt ne Augenzwinkern

Ehrlich gesagt tue ich mich mit Mathematik allgemein, und Stochastik offenbar besonders, schwer, aber das wird mich nicht abhalten!

Danke für deine Hilfe. Wie stehts jetzt mit dem Integral?

18.07.2017, 23:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Integral?

18.07.2017, 23:29

Jamen

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung für den Erwartungswert von T^2 über den Transformationssatz. Ich verstehe, wie ich den auf einfache Zufallsvariablen anwenden kann, aber ich verstehe nicht, wie ich den auf T mit mehreren Realisierungen von X als Parameter anwenden kann.

18.07.2017, 23:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Versuch von oben ist schon syntaktisch Unsinn: $\begin{align*} T \end{align*}$ ist eine reellwertige Zufallsgröße, demzufolge ist das Argument ihrer Dichte $\begin{align*} f_T \end{align*}$ eine reelle Zahl, kein Vektor der Dimension $\begin{align*} N \end{align*}$ . Tatsächlich ist also

$\begin{align*} E[T^2] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} t^2\cdot f_T(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

Dazu brauchst du aber die Dichte $\begin{align*} f_T \end{align*}$ , die du vermutlich nicht hast. Alternativ geht auch

$\begin{align*} E[T^2] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \ldots \int\limits_{-\infty}^{\infty} (T(x_1,\ldots,x_n))^2\cdot f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) ~ \dd x_1 ~ \dd x_2 \ldots \dd x_N \end{align*}$ .

Na dann viel Spaß noch damit (der von mir skizzierte Weg ist dir ja anscheinend zu einfach).

18.07.2017, 23:56

Jamen

Auf diesen Beitrag antworten »

Quatsch, der von dir vorgeschlagene Weg ist mir überhaupt nicht zu einfach. Damit habe ich schon die Varianz berechnen können und bin auf ein sinnvolles Ergebnis gekommen. Mich interessiert nur, ob es über den zuerst eingeschlagenen Weg auch funktioniert.

19.07.2017, 07:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, du kannst auch das n-fach iterierte Integral

$\begin{align*} E[T^2] = \frac{4}{N^2\theta^N}\int\limits_0^{\theta} \int\limits_0^{\theta} \ldots \int\limits_0^{\theta} (x_1+\ldots+x_n)^2 ~ \dd x_1 ~ \dd x_2 \ldots \dd x_N \end{align*}$

ausrechnen. Ist nicht schwer, nur schreiblastig und (wie gesagt) vermeidbar.

19.07.2017, 08:11

Jamen

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe, beim nächsten mal kann ich mir damit dann selbst helfen.

Neue Frage »

Antworten »

Varianz eines Schätzers für die obere Grenze einer Gleichverteilung

Verwandte Themen