Differentialgleichungen

18.07.2017, 22:28

Marsuxxx

Differentialgleichungen

Ich sitze mal wieder an 2 Differentialgleichungen und komme nicht weiter. Meine Lösungen habe ich abfotografiert und mit angehangen.

Bei Aufgabe 2) habe ich versucht, einen integrierenden Faktor zu finden. Aber die Probe ergibt, dass die DGL wieder nicht exakt ist. Was habe ich falsch gemacht?

Zu Aufgabe 3: Was ist da mit Grenzgeschwindigkeit gemeint? Ist das mein v0? Oder wonach soll ich jetzt umstellen?

Vielen Dank für Eure Unterstützung!

18.07.2017, 22:42

HAL 9000

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Ich kann deinen Scan kaum entziffern. In der DGL erkennt man links in

$\begin{align*} (x^2+1)y' - 2xy = 1-x^2 \end{align*}$

die Struktur $\begin{align*} uy'-u'y \end{align*}$ mit $\begin{align*} u=x^2+1 \end{align*}$ , und daher haben wir wegen $\begin{align*} \left( \frac{y}{u} \right)' = \frac{y'u-yu'}{u^2} \end{align*}$ dann

$\begin{align*} \left( \frac{y}{x^2+1} \right)' = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \end{align*}$

das kann man integrieren.

19.07.2017, 17:14

Marsuxxx

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Das kann ich soweit nachvollziehen. Aber irgendwie stehe ich jetzt auf dem Schlauch ...
Mich irritiert der Term auf der linken seite. Kannst du bitte mal noch den Ansatz für das Integral schreiben? Das Lösen sollte ich dann hoffentlich selbst hinbekommen ... Danke!

19.07.2017, 17:28

HAL 9000

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Direktes Integrieren von

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \left( \frac{y}{x^2+1} \right)' = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \end{align*}$

heißt

$\begin{align*} \frac{y}{x^2+1} = \int \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} ~ \dd x \end{align*}$ ,

dabei "steckt" die notwendigerweise zu betrachtende Integrationskonstante noch in dem unbestimmten Integral rechts.

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