Fluss durch zusammengesetzte Oberfläche

Neue Frage »

JoE1205 Auf diesen Beitrag antworten »
Fluss durch zusammengesetzte Oberfläche
Hi,

ich habe eine Aufgabe gerechnet, weiß allerdings nicht ob der weg richtig ist. Das Ergebnis stimmt zwar, aber das mag ja nichts heißen. Könnte mir bitte jemand die Rechnung bestätigen? Ist super dringend, weil ich Freitag ne Klausur darüber schreibe Big Laugh

Aufgabenstellung:
Man berechne den Fluss von v durch die sich aus O und E zusammensetzende Gesamtoberfläche







Meine Lösung:
O in Parameterform bringen. Da eine Ellipse vorliegt erhält man folgendes. Der dritte Wert kann vernachlässigt werden, wird eh nicht benötigt.


Das nach x abgeleitet:


v ergibt sich zu



Oberflächenintegral O über v:



x und y werden mit den neuen Werten von v gefühlt, dx und dy werden durch die abgeleiteten werte von O ersetzt.




Wenn man das ausrechnet kommt 0 heraus.

Für E genau der selbe Weg, kommt auch 0 raus. Insgesamt ist die Summe der beiden Oberflächenintegrale also 0.

Stimmt das alles so?

Viele Grüße und vielen Dank für den Aufwand smile
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fluss durch zusammengesetzte Oberfläche
Was rechnest Du da eigentlich?

Kannst Du die Menge in Worten beschreiben?

Warum soll die z-Koordinate egal sein?

Und was soll "fuer E genau derselbe Weg" denn heissen? Hier geht es doch um Oberflaechen- und nicht um Kurvenintegrale.

Null als Ergebnis stimmt zwar, aber es gibt viele Moeglichkeiten, Null auszurechnen. Die meisten haben mit einer konkreten Aufgabe, bei der Null rauskommt, wenig bis nichts zu tun. smile
JoE1205 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir schon fast gedacht, dass das alles Quatsch ist Big Laugh
Sowas kommt bei rum, wenn man sich versucht anhand Endergebnissen was selber beizubringen.

O ist die Oberfläche der Elipse
E ist die Ellipsenfläche in der X-Y-Ebene

Kannst du mir denn sagen was ich machen muss? An sich müssten doch der Fluss durch E und O auf die selbe Weise bestimmbar sein, das mein ich mich "derselbe Weg".
JoE1205 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ein neuer Versuch:
Dazu zunächst noch die Info, dass im vorherigen Aufgabenteil das Volumenintegral der divergenz von v berechnet werden sollte. Da die div = 0 ist ist auch das Volumenintegral = 0.

Ich hab mir irgendwann mal folgendes gemerkt:


O ist die Oberfläche der Volumens V. Kann man das als allgemeine Regel so hinnehmen oder muss dafür irgendwas erfüllt sein?

Jetzt aber zur Berechnung von:


Ellipse in Parameterform:


da hier


und Ellipsenform bekannt:

kommt man auf


E nach b und phi ableiten ergibt:



davon das Kreuzprodukt mit b=2:



Nun zum lösen des Integrals:








Das da auch ohne einsetzen 0 rauskommt ist offensichtlich.

Stimmts jetzt für

Hab das ganze auch mal für gemacht, ist aber deutlich aufwendiger.
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Du wurstelst Dich langsam weiter, aber was ein Oberflaechenintegral ist, scheint Dir immer noch nicht klar. Es ist jedenfalls kein Kurvenintegral.

O ist ein halbes Ellipsoid (z>0) und E eine Ellipsenscheibe in der xy-Ebene.

Der Parameterbereich fuer Flaechen in 3D ist zweidimensional. Ausserdem gibt es noch Flaechen in expliziter Darstellung. In der Aufgabe sind O und E so vorgegeben.

Das mit dem Integralsatz von Gauss ist eine ganz passende Bemerkung zu dieser Aufgabe. Um den anwenden zu koennen, muesste O u E eine geschlossene Huellflaeche sein.
JoE1205 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut ich merke, dass mir teilweise ein paar Begriffe nicht klar sind.

Zitat:
O ist ein halbes Ellipsoid (z>0)

woran sieht man das hier?

EDIT: Okay, ist aus der Definition von O ersichtlich, da es unmöglich ist z < 0 zu bekommen und gleichzeitig zu erfüllen

Zitat:
Du wurstelst Dich langsam weiter, aber was ein Oberflaechenintegral ist, scheint Dir immer noch nicht klar. Es ist jedenfalls kein Kurvenintegral.

Wenn ich deine Aussage richtig interpretiere gehst du darauf ein, dass ich zuletzt nur über 0 bis 2pi integriere anstatt den paramater b in der gleichung zu lassen und mit ins integral zu ziehen, wodurch ein doppelintegral ( -> Oberflächenintegral) entsteht. Das war mir schon bewusst, wenn ich mich nicht vertan hab macht das aber letztendlich keinen unterschied,sodass ich aus faulheit hier den schritt von b=0 bis 2 zu integrieren einfach übersprungen habe. D.h. in der Klausur für ich das lieber bis zum schluss mit smile

sprich eigentlich müsste es heißen:

Wäre dann der Rechenweg richtig?
Zitat:
Ich hab mir irgendwann mal folgendes gemerkt:

Zitat:
Das mit dem Integralsatz von Gauss ist eine ganz passende Bemerkung zu dieser Aufgabe. Um den anwenden zu koennen, muesste O u E eine geschlossene Huellflaeche sein.

Das bedeutet, dass man diese Annahme bei dieser Aufgabe richtig ist? Ich frag nur nochmal nach um wirklich ganz sicher zu gehen Big Laugh Meiner Meinung nach bilden E und O eine geschlossene Hüllfläsche

Vielen Dank schonmal für die hilfe smile
 
 
JoE1205 Auf diesen Beitrag antworten »

Und direkt noch was anderes hinterher:

Wenn man den Wirbelfluss von durch berechnen soll d.h. , kann man dann direkt sagen, dass der Wirbelfluss 0 ist oder muss man das berechnen? Muss für den Wirbelfluss=0 auch eine geschlossene Hüllfläsche vorliegen oder wie sieht das Kriterium dabei aus?
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Flaechen und sehen etwa so aus:

previews.123rf.com/images/3dalia/3dalia1403/3dalia140300817/26930239-3D-Darstellung-von-einem-silbernen-Tablett-machen-mit-Deckel-abgehoben-Lizenzfreie-Bilder.jpg

ist das Tablett und der Deckel. Wenn man das zusammensetzt (und sich die ueberfluessigen Teile wegdenkt), hat man . Das ist eine geschlossene Flaeche und man kann den Gauss'schen Satz anwenden. Wegen ist das ziemlich einfach. Inetgriert wird die Divergenz ueber das von der Huellflaeche eingeschlossene Volumen . Das ist dann das Gleiche wie das gesuchte Flussintegral ueber , also .

Beim Gausschen Satz muessen die Flaechen immer geschlossen sein. Sonst kann man die Flaeche nicht als Rand eines eingeschlossenen Volumens betrachten. Und sowas braucht man ja fuer die eine Seite der Gleichung.

Deine Frage mit dem Wirbelfluss gehoert zum Satz von Stokes. Der macht aus einem Flaechenintegral ein Wegintegral ueber die Berandung der Flaeche. Hier koennen die Flaechen keine Huellflaechen sein, weil sie ja sonst keine Berandung haben und man den Stokesschen Satz dann gar nicht formulieren kann.

Ich fuerchte, das geht alles zu weit, als dass Du das bis Fr. noch intus kriegst.
JoE1205 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay jetzt ist der Zusammenhang zu der vorherigen Teilaufgabe klar.
Das ist dann natürlich wirklich sehr einfach und kann ohne Rechnung gemacht werden.

Also ist Das selbe wie Oberflächenintegrale über die Flächen des Volumens, hier

Angenommen man soll irgendein Oberflächeintegral berechnen: Ist der Rechenweg, wie ich Ihn hier eingeschlagen habe, denn richtig?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »