Eindeutige Lösbarkeit DGL

20.07.2017, 00:57

Mathematicax33

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Eindeutige Lösbarkeit DGL

Meine Frage:
Hallo,
folgende Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} y'(t)=6t (y(t))^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ mit den Anfangswerten
$\begin{eqnarray*} (i) y(0)=0 \\(ii)y(0)=1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich soll sagen ob diese dgl für (i) bzw (ii) lokal eindeutig lösbar ist.
Leider bin ich noch nicht ganz so vertraut mit DGL und ihrer Eindeutigkeit..
Ich weiß nur, dass wenn die Funktion (jetzt in dem Fall $\begin{eqnarray*} f(t,y)=6ty^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ ) stetig differenzierbar ist, dass daraus folgt dass sie lokal lipschitz stetig ist und somit eindeutig lösbar.
Nun , nach y abgeleitet erhalte ich :
$\begin{eqnarray*} f_{y} (t,y)= \frac{4t}{y^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$
Die ist aber in y=0 nicht stetig.. Heißt das dann also einfach : In einer Umgebung von 0 ist Diffgl. nicht eindeutig lösbar aber ansonsten schon ?
Hoffe jemand kann mir helfen.
LG

20.07.2017, 08:11

Lithiesque

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Stetige Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nur hinreichend, nicht notwendig für lokale Lipschitz-Stetigkeit und die wiederum ist auch nur hinreichend, nicht notwendig für eindeutige Lösbarkeit des Anfangswertproblems.

Wenn du davon ausgehst, dass das AWP nicht eindeutig lösbar ist, zeigst du das am besten, indem du zwei verschiedene Lösungen angibst, was bei (i) mit etwas Überlegen machbar sein sollte.
Zu (ii): Hilft es dir weiter, wenn ich dich darauf aufmerksam mache, dass die DGL separierbar ist?

20.07.2017, 12:12

Mathematicax33

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Aaaachsooo,ok jetzt wird mir einiges klarer vielen Dank !
Ja bei (i) erfüllt offensichtlich u(t)=0 die Nullfunktion einfach die Bedingungen. Hm die zweite Lösung müsste ich dann mit Seperation der Variablen angeben oder kannst du die hier "ablesen"?
bei (ii) Ja genau,ich versuch das jetzt mal und schreib das hier gleich rein.

20.07.2017, 12:32

Mathematicax33

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So mittels Seperation der Variablen komm ich auf die Lösung zu beliebingen Anfangswerten mit $\begin{eqnarray*} y(t_{0}) =y_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t)=t^6 -t_{0}^6 +y_{0} \end{eqnarray*}$

bzgl(i) wissen wir dass die Nullfunktion eine Lösung ist, aber auch eben $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \Rightarrow y(t)=t^6 \end{eqnarray*}$ -> Nicht eindeutig

bei (ii)
$\begin{eqnarray*} y(0)=1\Rightarrow y(t)=t^6 +1 \end{eqnarray*}$ hab ich zwar jetzt die Lösung,aber kann ich jetzt einfach annehmen dass die eindeutig ist ? Ich denke eher nicht
verwirrt

verwirrt

Irgendwas muss man da bestimmt noch zeigen oder ?

20.07.2017, 13:06

Mathematicax33

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Ich hab mich anscheind verrechnet bei der Lösung..
Wolfram Alpha liefert mir das
[attach]44929[/attach]

Ich hab meinen Fehler gefunden aber trotzdem komm ich nicht auf dasselbe Ergebnis
verwirrt

verwirrt

verwirrt

Mein Lösungsweg:
[attach]44930[/attach]

20.07.2017, 13:15

Mathematicax33

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Sorry für das Spammen..(hab da bei meinem Rechenweg andere Variablen benutzt u soll y sein bzw u_0 , y_0 )
Aufjedenfall stimmt meine Lösung, weil ich hab sie abgeleitet und geschaut ob die Bedingungen erfüllt werden und das tut sie..
Sprich die Lösung ist hier auch nicht eindeutig aber wow während der Klausur kann ich auch nicht einfach auf Wolfram Alpha Hammer

Hammer

Hammer

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20.07.2017, 13:18

IfindU

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Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} u_0 = 1 \end{eqnarray*}$ bei dir und bei Alpha ist $\begin{eqnarray*} c_0 = 3 \end{eqnarray*}$ . Sieht man am Anfangswert. Daher sieht es verschieden aus.

Ferner sehe ich nicht wie eine Loesung hinschreiben hilft die Eindeutigkeit zu begruenden. Das ist klassischer Fall von Picard-Lindeloeff, da die Potenzfunction $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^{2/3} \end{eqnarray*}$ um 1 (im Gegensatz zur 0) wirklich lokal Lipschitz-stetig ist.

20.07.2017, 13:23

Mathematicax33

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Ach ist die Lokale Lipschitz Bedingung immer auf den Anfangswert bezogen ? Sprich bei y(0)=1 reicht es wenn die Funktion in einer Umgebung von der 1 Lokal Lipschitzstetig ist für die Eindeutigkeit ?
Deswegen klappt es auch nicht bei y(0)=0 weil es in einer Umgebung von 0 nicht lok. lipschitz stetig ist oder ? Also wie gesagt da wäre es zwar nicht hinreichend,aber nur für das Verständnis jetzt

20.07.2017, 13:25

IfindU

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Genau. Und weil es um 1 lokal Lipschitz ist, hast du lokale Eindeutigkeit. Um 0 ist es nicht lokal Lipschitz-stetig, aber das sagt dir eben erst einmal nichts. Daher musst du da auch 2 Funktionen angeben, um die Eindeutigkeit zu widerlegen.

20.07.2017, 13:28

Mathematicax33

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Dankeee !!!! Tanzen

Tanzen

20.07.2017, 13:38

Mathematicax33

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Ganz kurz noch zum Verständnis.
Meine Funktion: $\begin{eqnarray*} f(t,x)=6t x^{2/3} \end{eqnarray*}$
Abgeleitet in x ist
$\begin{eqnarray*} f_x= \frac{4t}{x^{1/3} } \end{eqnarray*}$

Die ist in einer Umgebung von 1 beispielsweise im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[\frac{2}{3},\frac{4}{3} \right] \end{eqnarray*}$ lokal lipschitz stetig,denn

$\begin{eqnarray*} | \frac{4t}{x^{1/3} } | \leq \frac{4t}{\frac{2}{3}^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$

Sprich ich darf als eine Lipschitzkonstante eine stetige Funktion angeben die von t abhängen darf richtig ?

20.07.2017, 13:44

IfindU

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Sie muss unabhaengig von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein. Aber du musst es nur fuer ein Intervall um die 0 finden. Auch hier reicht es also lokal.

Um die 0, da der Anfangswert in der 0 gegeben ist.

20.07.2017, 13:47

Mathematicax33

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hä

unglücklich

aber hier meintest du ja

Zitat:

Original von IfindU
Genau. Und weil es um 1 lokal Lipschitz ist, hast du lokale Eindeutigkeit. Um 0 ist es nicht lokal Lipschitz-stetig, aber das sagt dir eben erst einmal nichts. Daher musst du da auch 2 Funktionen angeben, um die Eindeutigkeit zu widerlegen.

20.07.2017, 13:51

IfindU

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Der Anfangswert ist beim zweiten $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} I = (-\frac 1 2, \frac 1 2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J = (\frac 23, \frac 43) \end{eqnarray*}$ . Dann musst du zeigen, dass ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} | f(t,x_1) - f(t, x_2) | \leq L | x_1 - x_2| \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} t \in I \end{eqnarray*}$ (ein Intervall um die 0) und alle $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in J \end{eqnarray*}$ (ein Intervall um die 1).

20.07.2017, 13:53

Mathematicax33

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weil 4t/x^(1/3) ist eben nicht stetig in einer Umgebung von 0 bzw ich finde ja kein Intervall um 0 s.d das stetig ist..deswegen kann ich bzgl der AWA mit y(0)=0 keine Eindeutigkeit zeigen und muss eben eine zweite Lösung angeben zu widerlegen.
Bei y(0)= 1 ist dahingegen 4t/x^(1/3) stetig in einer Umgebung von 1 -> f(t,x) lok. lip.stetig somit Eindeutigkeit gezeigt.
So hatt ich das jetzt verstanden..

20.07.2017, 13:54

Mathematicax33

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Zitat:

Original von IfindU
Der Anfangswert ist beim zweiten $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} I = (-\frac 1 2, \frac 1 2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J = (\frac 23, \frac 43) \end{eqnarray*}$ . Dann musst du zeigen, dass ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} | f(t,x_1) - f(t, x_2) | \leq L | x_1 - x_2| \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} t \in I \end{eqnarray*}$ (ein Intervall um die 0) und alle $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in J \end{eqnarray*}$ (ein Intervall um die 1).

achsooo das um die null war nicht auf das x sondern auf meine unabhängige Variable bezogen ! Ok Dankeschön!

20.07.2017, 13:57

IfindU

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Das stimmt auch. Es geht hier nur noch um die Frage, ob du die Schranke im ersten Post abhaengig von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ waehlen darfst. Die Antwort ist nein. Aber du musst die Schranke nicht gleichmaessig um alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ angeben, sondern nur welche in der Naehe der 0.

Vlt so: $\begin{eqnarray*} y(t_0) = y_0 \end{eqnarray*}$ . Um $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ brauchst du ein Intervall, so dass es Lipschitz-stetig ist. Und die Lipschitz-konstante muss fuer alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ gleich gewaehlt werden koennen.

Hier ist eben $\begin{eqnarray*} t_0 = 0 \end{eqnarray*}$ (in beiden Aufgaben), und $\begin{eqnarray*} y_0 = 0 \end{eqnarray*}$ in der ersten und $\begin{eqnarray*} y_0 = 1 \end{eqnarray*}$ in der zweiten.

Edit: Hat sich wohl erledigt.

20.07.2017, 13:58

Mathematicax33

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Und reicht es aus wenn man das einfach nur so argumentiert ? Weil wenn es stetig ist ,wissen wir ja dass es in einem abgeschlossenem Intervall sein minumum bzw Maximum annimmt

Zitat:

Original von Mathematicax33

Bei y(0)= 1 ist dahingegen 4t/x^(1/3) stetig in einer Umgebung von 1 -> f(t,x) lok. lip.stetig somit Eindeutigkeit gezeigt.

20.07.2017, 14:01

IfindU

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Das wuerde reichen ja.

20.07.2017, 14:02

Mathematicax33

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Vielen Dank für deine Mühe smile

smile

20.07.2017, 14:04

IfindU

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Aber vlt lieber sagen $\begin{eqnarray*} (t,x) \mapsto \frac { 4t}{x^{1/3}} \end{eqnarray*}$ ist stetig in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} (0, 1) \end{eqnarray*}$ . Dann hat man die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Abhaengigkeit nicht mehr drin.

21.07.2017, 07:46

Lithiesque

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Vielleicht noch als Nachtrag: Die Tatsache, dass es sich um eine separierbare DGL der Form $\begin{eqnarray*} y'(t) = g(t)f(y(t)) \end{eqnarray*}$ handelt, impliziert direkt, dass jedes zugehörige Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} y(t_0) = y_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(y_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar ist (siehe etwa den Wikipedia-Eintrag zu 'Trennung der Variablen').

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