Eindeutige Lösbarkeit DGL

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Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutige Lösbarkeit DGL
Meine Frage:
Hallo,
folgende Differentialgleichung
mit den Anfangswerten



Meine Ideen:
Ich soll sagen ob diese dgl für (i) bzw (ii) lokal eindeutig lösbar ist.
Leider bin ich noch nicht ganz so vertraut mit DGL und ihrer Eindeutigkeit..
Ich weiß nur, dass wenn die Funktion (jetzt in dem Fall ) stetig differenzierbar ist, dass daraus folgt dass sie lokal lipschitz stetig ist und somit eindeutig lösbar.
Nun , nach y abgeleitet erhalte ich :

Die ist aber in y=0 nicht stetig.. Heißt das dann also einfach : In einer Umgebung von 0 ist Diffgl. nicht eindeutig lösbar aber ansonsten schon ?
Hoffe jemand kann mir helfen.
LG
Lithiesque Auf diesen Beitrag antworten »

Stetige Differenzierbarkeit von ist nur hinreichend, nicht notwendig für lokale Lipschitz-Stetigkeit und die wiederum ist auch nur hinreichend, nicht notwendig für eindeutige Lösbarkeit des Anfangswertproblems.

Wenn du davon ausgehst, dass das AWP nicht eindeutig lösbar ist, zeigst du das am besten, indem du zwei verschiedene Lösungen angibst, was bei (i) mit etwas Überlegen machbar sein sollte.
Zu (ii): Hilft es dir weiter, wenn ich dich darauf aufmerksam mache, dass die DGL separierbar ist?
 
 
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaachsooo,ok jetzt wird mir einiges klarer vielen Dank !
Ja bei (i) erfüllt offensichtlich u(t)=0 die Nullfunktion einfach die Bedingungen. Hm die zweite Lösung müsste ich dann mit Seperation der Variablen angeben oder kannst du die hier "ablesen"?
bei (ii) Ja genau,ich versuch das jetzt mal und schreib das hier gleich rein.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

So mittels Seperation der Variablen komm ich auf die Lösung zu beliebingen Anfangswerten mit


bzgl(i) wissen wir dass die Nullfunktion eine Lösung ist, aber auch eben -> Nicht eindeutig

bei (ii)
hab ich zwar jetzt die Lösung,aber kann ich jetzt einfach annehmen dass die eindeutig ist ? Ich denke eher nicht
verwirrt Irgendwas muss man da bestimmt noch zeigen oder ?
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich anscheind verrechnet bei der Lösung..
Wolfram Alpha liefert mir das
[attach]44929[/attach]

Ich hab meinen Fehler gefunden aber trotzdem komm ich nicht auf dasselbe Ergebnis
verwirrt verwirrt
Mein Lösungsweg:
[attach]44930[/attach]
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für das Spammen..(hab da bei meinem Rechenweg andere Variablen benutzt u soll y sein bzw u_0 , y_0 )
Aufjedenfall stimmt meine Lösung, weil ich hab sie abgeleitet und geschaut ob die Bedingungen erfüllt werden und das tut sie..
Sprich die Lösung ist hier auch nicht eindeutig aber wow während der Klausur kann ich auch nicht einfach auf Wolfram Alpha Hammer Hammer
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich ist bei dir und bei Alpha ist . Sieht man am Anfangswert. Daher sieht es verschieden aus.

Ferner sehe ich nicht wie eine Loesung hinschreiben hilft die Eindeutigkeit zu begruenden. Das ist klassischer Fall von Picard-Lindeloeff, da die Potenzfunction um 1 (im Gegensatz zur 0) wirklich lokal Lipschitz-stetig ist.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ist die Lokale Lipschitz Bedingung immer auf den Anfangswert bezogen ? Sprich bei y(0)=1 reicht es wenn die Funktion in einer Umgebung von der 1 Lokal Lipschitzstetig ist für die Eindeutigkeit ?
Deswegen klappt es auch nicht bei y(0)=0 weil es in einer Umgebung von 0 nicht lok. lipschitz stetig ist oder ? Also wie gesagt da wäre es zwar nicht hinreichend,aber nur für das Verständnis jetzt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und weil es um 1 lokal Lipschitz ist, hast du lokale Eindeutigkeit. Um 0 ist es nicht lokal Lipschitz-stetig, aber das sagt dir eben erst einmal nichts. Daher musst du da auch 2 Funktionen angeben, um die Eindeutigkeit zu widerlegen.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeee !!!! Tanzen
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz kurz noch zum Verständnis.
Meine Funktion:
Abgeleitet in x ist


Die ist in einer Umgebung von 1 beispielsweise im Intervall lokal lipschitz stetig,denn



Sprich ich darf als eine Lipschitzkonstante eine stetige Funktion angeben die von t abhängen darf richtig ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sie muss unabhaengig von sein. Aber du musst es nur fuer ein Intervall um die 0 finden. Auch hier reicht es also lokal.

Um die 0, da der Anfangswert in der 0 gegeben ist.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich aber hier meintest du ja
Zitat:
Original von IfindU
Genau. Und weil es um 1 lokal Lipschitz ist, hast du lokale Eindeutigkeit. Um 0 ist es nicht lokal Lipschitz-stetig, aber das sagt dir eben erst einmal nichts. Daher musst du da auch 2 Funktionen angeben, um die Eindeutigkeit zu widerlegen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Der Anfangswert ist beim zweiten . Sei und . Dann musst du zeigen, dass ein existiert, so dass fuer alle (ein Intervall um die 0) und alle (ein Intervall um die 1).
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

weil 4t/x^(1/3) ist eben nicht stetig in einer Umgebung von 0 bzw ich finde ja kein Intervall um 0 s.d das stetig ist..deswegen kann ich bzgl der AWA mit y(0)=0 keine Eindeutigkeit zeigen und muss eben eine zweite Lösung angeben zu widerlegen.
Bei y(0)= 1 ist dahingegen 4t/x^(1/3) stetig in einer Umgebung von 1 -> f(t,x) lok. lip.stetig somit Eindeutigkeit gezeigt.
So hatt ich das jetzt verstanden..
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Der Anfangswert ist beim zweiten . Sei und . Dann musst du zeigen, dass ein existiert, so dass fuer alle (ein Intervall um die 0) und alle (ein Intervall um die 1).


achsooo das um die null war nicht auf das x sondern auf meine unabhängige Variable bezogen ! Ok Dankeschön!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt auch. Es geht hier nur noch um die Frage, ob du die Schranke im ersten Post abhaengig von waehlen darfst. Die Antwort ist nein. Aber du musst die Schranke nicht gleichmaessig um alle angeben, sondern nur welche in der Naehe der 0.

Vlt so: . Um brauchst du ein Intervall, so dass es Lipschitz-stetig ist. Und die Lipschitz-konstante muss fuer alle in einer Umgebung von gleich gewaehlt werden koennen.

Hier ist eben (in beiden Aufgaben), und in der ersten und in der zweiten.

Edit: Hat sich wohl erledigt.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Und reicht es aus wenn man das einfach nur so argumentiert ? Weil wenn es stetig ist ,wissen wir ja dass es in einem abgeschlossenem Intervall sein minumum bzw Maximum annimmt
Zitat:
Original von Mathematicax33

Bei y(0)= 1 ist dahingegen 4t/x^(1/3) stetig in einer Umgebung von 1 -> f(t,x) lok. lip.stetig somit Eindeutigkeit gezeigt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das wuerde reichen ja.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Aber vlt lieber sagen ist stetig in einer Umgebung von . Dann hat man die -Abhaengigkeit nicht mehr drin.
Lithiesque Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch als Nachtrag: Die Tatsache, dass es sich um eine separierbare DGL der Form handelt, impliziert direkt, dass jedes zugehörige Anfangswertproblem mit eindeutig lösbar ist (siehe etwa den Wikipedia-Eintrag zu 'Trennung der Variablen').
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