Kosinussatz partielle Ableitungen

20.07.2017, 13:17

Hump

Kosinussatz partielle Ableitungen

Meine Frage:
Hallo,
Ich bin grad dabei den Kosinussatz partiell abzuleiten. Folgende Gleichung habe ich als Ausgangsposition. $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{a^2+b^2-2ab*cos(\gamma)} \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt jeweils die erste Partielle Ableitung von A/B und Cos(\gamma) aufstellen.

Nun weiß ich aber irgendwie nicht so recht wie ich das umsetzen soll.

Meine Ideen:
Ich würde als erstes die Wurzel umschreiben. $\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2\sqrt{a^2+b^2-2ab*cos(\gamma)}} \end{eqnarray*}$

Dann würde ich anfangen mit Kettenregel etc. das ganze auseinander zu nehmen. Aber ich schon das Gefühl ich ich die Wurzel schon nicht richtig auflöse.

EDIT: Latex-Tags eingefügt (klarsoweit)

20.07.2017, 13:44

klarsoweit

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RE: Kosinussatz Partielle Ableitung
Das ganze klingt genügend werkwürdig, daß es wohl das Beste ist, wenn du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut postest.

20.07.2017, 13:59

Hump

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Hier ist die Aufgabenstellung in Orginal:

[attach]44932[/attach]

P.S. Danke fürs Formel anpassen. Big Laugh

20.07.2017, 14:02

mYthos

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Die Wurzel muss man nicht umformen (außerdem ist das bei dir falsch!).
Du kannst auch $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ mittels der Kettenregel ableiten .. [ $\begin{eqnarray*} 2c \frac {\partial c}{\partial a} = .. \end{eqnarray*}$ ]

EDIT: Bin schon wieder weg.

mY+

21.07.2017, 16:45

Hump

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Mhh, ehrlich gesagt blick ich nicht ganz durch.

@mYthos Du meinst, ich kann die Wurzel weglassen wenn ich dafür C ins Quadrat nehme?
Denn wenn ich jetzt das ganze in der Kettenregel aufdrösel komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2-2ab*cos\gamma}}*2a+2b-ab+2b+2a-sin\gamma \end{eqnarray*}$

23.07.2017, 00:23

mYthos

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Was ich meine, ist NICHT, die Wurzel wegzulassen, sondern anstatt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ abzuleiten, dies mit dessen Quadrat zu tun (implizite Ableitung*):

$\begin{eqnarray*} c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \gamma \end{eqnarray*}$

damit ist für den Moment die Wurzel egalisiert und weiter ist - beispielsweise bei der Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ -

$\begin{eqnarray*} 2c \cdot \frac {\partial c}{\partial \gamma}= -2ab \sin \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial c}{\partial \gamma} = -\frac{ab \sin \gamma} c \end{eqnarray*}$

Zum Schluss wird $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ durch den Wurzelausdruck ersetzt.
(*)Diese Art der Ableitung ist unter dem Begriff "Implizite Ableitung" bekannt.

mY+

24.07.2017, 08:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von mYthos
Was ich meine, ist NICHT, die Wurzel wegzulassen, sondern anstatt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ abzuleiten, dies mit dessen Quadrat zu tun (implizite Ableitung*):

Falls einem dieser Weg nicht gefällt, kann man auch das c ganz normal mittels der Kettenregel nach a, b und gamma ableiten. smile

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