Gleichschenkliges Dreieck + Flächeninhalt = unendlich viele Lsg.?

20.07.2017, 15:40	Roland Gazi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichschenkliges Dreieck + Flächeninhalt = unendlich viele Lsg.? Meine Frage: Ein Dreieck hat zwei gleich große Seiten der Länge s = 17cm und den Flächeninhalt 120 cm². Berechnen Sie zwei mögliche Werte für die Länge der dritten Seite! Meine Ideen: Gedankengang: Unendlich viele Möglichkeiten, wenn man in Abhängigkeit der Seitenlänge entweder nach h oder nach g auflöst. Frage: Wirklich unendlich viele Möglichkeiten? -> h durch Pythagoras umgestellt und in die Flächeninhaltsformel eingesetzt: $\begin{eqnarray} 120 cm² = \frac{1}{2} c * \sqrt{289cm² - \frac{c^4}{4} } \end{eqnarray}$ -> Nach c auflösen, "c² = z" substituieren und mit pq-Formel ausgerechnet: $\begin{eqnarray} z_{1,2} = 578 \pm \sqrt{103684} \Rightarrow z_{1} = 900 ; z_{2} = 256 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_{1} = \|30cm\| ; c_{2} \|16cm\| \end{eqnarray*}$ Da die Höhe nicht weder bestimmt werden soll, noch gegeben ist, sind das zwei Möglichkeiten [Trotzdem: h = 15cm oder h = 8cm]. Ich habe dadurch zwei voneinander abhängige Werte berechnet. Heißt das aber, dass das wirklich die einzig möglichen Lösungen sind? Oder gibt es ein anderes Verfahren, welches verdeutlicht, wie viele berechenbare Möglichkeiten mit den Randbedingungen s = 17cm und A = 120cm² exisiteren? Mache mir wahrscheinlich zu viele Gedanken, jedoch interessiert mich das gerade und habe leider keine Antwort auf die Frage(n)! Vielen Dank im Voraus!
20.07.2017, 16:36	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichschenkliges Dreieck + Flächeninhalt = unendlich viele Lsg.? Eine Gleichung vierten Grades hat genau vier Lösungen. Die beiden ersten hast Du richtig berechnet, die beiden anderen sind jeweils das Negative davon. Somit gibt es tatsächlich nur zwei sinnvolle Lösungen. Viele Grüße Steffen
20.07.2017, 17:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich ist das zugrunde liegende Gleichungssystem bzgl. $\begin{align} x=\frac{c}{2} \end{align}$ und $\begin{align} h \end{align}$ symmetrisch: $\begin{align} x^2 + h^2 &= 17^2<br /> xh &= 120 \end{align}$ Es verwundert daher nicht, dass die zwei positiven Lösungspaare durch Vertauschung auseinander hervorgehen: (8,15) und (15,8) welche zusammen mit 17 übrigens ein Pythagoräisches Tripel bilden.

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