Analytische Lösung für nichtlineares Gleichungssystem?

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Gebo Auf diesen Beitrag antworten »
Analytische Lösung für nichtlineares Gleichungssystem?
Meine Frage:
Ist es möglich für folgendes nichtlineares Gleichungssystem eine analytische Lösung zu finden? Ggf. unter Annahmen bzw. Vereinfachungen. Hinweis: es handelt sich um ein chemisches Reaktionssystem, die Lösung hat also durchaus Relevanz und wird hier nicht nur aus Freude an der Mathematik gesucht smile

Das Gleichungssystem aus
... drei linearen:
1. x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = K_c (Konstante ist <= 0)
2. 2*x_4 + x_5 + x_6 = K_H (Konstante ist <= 0)
3. x_2 + 1/2*x_3 + x_6 = K_O (Konstante ist <= 0)

... und drei nicht linearen:
4. (x_sum * x_6) / (x_5 * x_3) = K_4 (Konstante ist <= 0)
5. (x_3 * x_6) / (x_5 * x_2) = K_5 (Konstante ist <= 0)
6. (x_3 * (x_5)^3) / ((x_sum)^2*x_6*x_4) = K_6 (Konstante ist <= 0)
...mit: x_sum = x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6

Meine Ideen:
Vereinfacht kann auch erstmal (für eine Teillösung) anngenommen werden, dass x_1 = 0

Das Gleichungssystem lässt sich durch eine Vielzahl von Möglichkeiten umstellen. Aber alle Versuche haben mich bisher einer Lösung nicht näher gebracht. Leider habe ich derzeit keinen Zugriff mehr auf Maple (oder ähnliche algebraische Software).

Numerisch lässt sich das alles lösen und ist soweit kein Problem. Aber mich würde interessieren ob auch eine algebraische, allgemeine Lösung existiert? Oder ob es prinzipiell unmöglich ist? Wenn ja, dann warum?

Vielen Dank für Eure Hilfe!!! smile
Gebo2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analytische Lösung für nichtlineares Gleichungssystem?
Mir ist ein kleiner Fehler eingeschlichen:
Alle Konstanten ("K_i") sind positiv, also all >=0 !

Und da die Gleichungen so etwas unübersichtlich zu lesen sind, hier noch als Bild:
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analytische Lösung für nichtlineares Gleichungssystem?
Zitat:
Original von Gebo
Numerisch lässt sich das alles lösen und ist soweit kein Problem. Aber mich würde interessieren ob auch eine algebraische, allgemeine Lösung existiert? Oder ob es prinzipiell unmöglich ist? Wenn ja, dann warum?


Also ich sehe da leider keine Lösung. Aber wie dem auch sei, im Allgemeinen lassen sich nichtlineare Gleichungen nicht explizit auflösen, selbst wenn einem die Theorie sagt, dass eine (eindeutige) Lösung existieren mag [beispielsweise mit Monotoniebetrachtungen bei skalaren Problemen].
Zu zeigen, dass die Lösung prinzipiell nicht durch gewisse Ausdrücke darstellbar ist, stelle ich mir extrem schwierig vor. Hierzu erinnere ich an die Tatsache, dass im Allgemeinen die Lösung einer Polynomgleichung vom Grad fünf oder höher nicht durch Wurzelausdrücke darstellbar ist, siehe hier.
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