Abschätzung Potenz einer Summe

21.07.2017, 11:28	Innekwolty	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung Potenz einer Summe Meine Frage: Guten Morgen, Ich suche für positive a,....,n und ein reelles m > 0 eine Abschätzung durch eine Konstante C für (a+...+n)^m <= C (a^m + ... + n^m) Wie kann ich C wählen? Meine Ideen: Vielleicht gibt es ja eine bekannte Ungleichung die das erfüllt
21.07.2017, 11:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung Potenz einer Summe Das folgt aus der Hölder-Ungleichung für Summen. Dort steht in $\begin{eqnarray} \ell^p \end{eqnarray}$ -Schreibweise $\begin{eqnarray} \\| (a,\ldots,n )\\|_{\ell^1}^m \leq C \\| (a, \ldots, n)\\|_{\ell^m}^m \end{eqnarray}$ .
21.07.2017, 11:36	Innekwolty	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ich suche eigentlich ein spezielles C
21.07.2017, 11:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Hölder-Ungleichung anwendest, bekommst du ein konkretes $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Ich habe ja nichts gemacht ausser die Ungleichung in die `passende' Form zu bringen, so dass man leichter sieht wie man es anwenden kann. Haette ich nur abstrakt die Existenz begruenden wollen, haette ich einfach gesagt alle Normen im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ sind aequivalent
21.07.2017, 12:26	Innekwolty	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte Hölder noch nicht, habs jetzt aber nachgeholt. Komme auf mein C, danke
21.07.2017, 13:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stutze ein wenig angesichts des allgemeinen $\begin{align} m>0 \end{align}$ : Soweit ich das sehe, ist mit Hölder $\begin{align} m\geq 1 \end{align}$ abzuhandeln. Für $\begin{align} 0<m<1 \end{align}$ muss man indes anders abschätzen - wenn ich das richtig sehe, ist da schlicht $\begin{align} C=1 \end{align}$ wählbar.
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