Natürliche und periodische Randbedingung einer kubischen Spline-Interpolation

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EinIngenieur Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche und periodische Randbedingung einer kubischen Spline-Interpolation
Meine Frage:
Hallo! Ich bin neu in diesem Forum und würde mich freuen, wenn mir jemand bei folgender Aufgabe helfen könnte:

Die Sinus-Funktion soll im Intervall an den Stützstellen für einmal durch einen natürlichen und einmal durch einen periodischen Spline interpoliert werden. Man zeige, dass der natürliche und der periodische Spline übereinstimmen . (Die Aufgabe soll argumentativ gelöst werden und nicht durch nachrechnen).

Meine Ideen:
Was ich mir überlegt habe war:

Die periodischen Randbedingungen lauten: und . Zusätzlich kann ich wegen der periodizität fordern: (jeweils mit . Außerdem weiß ich, dass gilt. Damit könnte ich argumentieren, dass die periodische Randbedingung auch die natürlichen Randbedingung erfüllt. Was mir jedoch noch fehlt, ist zu zeigen, dass auch die natürliche Randbedingung die periodische Randbedingung erfüllt.

Vielen Dank vorab für jede Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Sinus ist eine ungerade Funktion. Überlege dir, warum dann unter Berücksichtigung der bzgl. des Nullpunktes symmetrischen Intervalleinteilung auch die Splinefunktionen ungerade sein müssen, und zwar beide, also sowohl als auch . Durch die Betrachtung der Ableitungswerte an den Rändern unter Beachtung dieser Ungeradheit (Kettenregel!) kommt man dann zum Ziel.
 
 
EinIngenieur Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich Dich richtig verstehe, kann ich aus der Punktsymmetrie des Sinus folgern, dass:

.

Wenn ich jeweils ableite folgt: . Und wenn ich jetzt in einsetzte bzw. in die fehlende Bedingung erfüllt wäre?
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