DGL - Inhomogene Gleichung nicht lösbar

21.07.2017, 14:14	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL - Inhomogene Gleichung nicht lösbar Meine Frage: Guten Tag, Ich habe folgendes DGL: $\begin{eqnarray} y''+y=sin(t) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun will ich die inhomogene Lösung herausfinden. Als Ansatz habe ich gewählt: $\begin{eqnarray} y(t)=Asin(t)+Bcos(t) \end{eqnarray}$ Mit Ableitungen und einsetzen bekomme ich: $\begin{eqnarray} -Asin(t)-Bcos(t)+Asin(t)+Bsin(t)=sin(t) \end{eqnarray}$ Die linke seite kürzt sich jedoch vollständig weg, so dass steht: $\begin{eqnarray} 0=sin(t) \end{eqnarray}$ . Habe ich einen Fehler? Falls nein. Was mache ich nun? Was schließe daraus? Viele Grüße Matherialist
21.07.2017, 14:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \sin(t) \end{align}$ ist bereits Lösung der homogenen Gleichung, es liegt hier der sogenannte Resonanzfall vor. Speziell für deine DGL bedeutet das, dass der partikuläre Ansatz $\begin{align} y_p(t) = {\color{red}t\cdot} \left( A\sin(t)+B\cos(t) \right) \end{align}$ lauten muss.
21.07.2017, 14:25	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie komme ich darauf auf diese homogene Lösung? Als homogenen Ansatz hatte ich gewählt: $\begin{eqnarray} Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}. \end{eqnarray}$ Mit dem Ansatz sehe ich keine Möglichkeit an sin(t) zu kommen.
21.07.2017, 14:29	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade. Mein charakteristisches Polynom war falsch. So bekomme ich eine komplexe Zahl. Dann ist sin(t) auch Möglich Wie komme ich auf die partikuläre Lösung? Ws wäre beim Anatz $\begin{eqnarray} A x^2+Bx+C \end{eqnarray}$ ? Da auch einfach alles mit x multiplizieren? Vielen Dank
21.07.2017, 15:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast das noch nicht verstanden. Es ist $\begin{align} Ax^2+Bx+C = (Ax^2+Bx+C)\cdot e^{0\cdot x} \end{align}$ , und 0 ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung deiner DGL, also liegt in dem Fall keine Resonanz vor. Auch wenn sie ihre Schwächen hat, ich verweise mal auf diese Übersichtstabelle: https://www.matheboard.de/thread.php?pos...312#post2098312 Störfunktion $\begin{align} \sin(x) \end{align}$ fällt in Kategorie 3, Fall 2 (mit Resonanz), während Störfunktion $\begin{align} Ax^2+Bx+C \end{align}$ schlicht in Kategorie 1 (erste Zeile, d.h., ohne Resonanz) fällt.

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