Multiplikatorsatz von Lagrange

21.07.2017, 19:11	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikatorsatz von Lagrange Hallo, ich hänge zurzeit an dieser Aufgabe: [attach]44941[/attach] Mein Vorgehen bisher: $\begin{eqnarray} L(x,y,\lambda )=x^2+2y^2+\lambda (x^2+2y^2+xy+e^{2-xy}-9) \end{eqnarray}$ Ableitungen: $\begin{eqnarray} L_x(x,y,\lambda )=2x+\lambda \left(-y\mathrm{e}^{2-yx}+2x+y\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_y(x,y,\lambda )= 4y+\lambda\left(-x\mathrm{e}^{2-xy}+4y+x\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_{\lambda}(x,y,\lambda )=x^2+2y^2+xy+e^{2-xy}-9 \end{eqnarray}$ Ich bin mir nicht sicher wie ich jetzt vorgehen muss.. Ich kriege das ganze auch nicht aufgelöst.. Für Hilfe wäre ich dankbar EDIT(Helferlein): w durch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ersetzt und Folgeposting gelöscht, damit Antwortenzähler auf 0 steht.
22.07.2017, 00:44	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Die drei Ableitungen gleich null setzen und schauen, ob du ein passendes $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ findest. Es ist ja bereits vorgegeben, welchen Punkt du untersuchen sollst. Allerdings würde ich behaupten, die Antwort auf die Frage, was Lagrange zur Behauptung $\begin{eqnarray} (2, 1) \end{eqnarray}$ sei Maximalstelle sagt, ist "Kann sein".
22.07.2017, 01:11	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe jetzt mal die erste und die zweite Gleichung 0 gesetzt und den Punkt (2,1) eingesetzt und erhalte für $\begin{eqnarray} \lambda=-1 \end{eqnarray}$
22.07.2017, 12:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Das System ist wohl aufzulösen. Zunächst unabhängig von der Angabe des Punktes ergeben die beiden ersten Gleichungen, dass $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ und aus der NB folgt dann $\begin{eqnarray} y =1 \end{eqnarray}$ und weiter $\begin{eqnarray} \lambda = -1 \end{eqnarray}$ . Und jetzt ist über das Extremum zu entscheiden. ------------- Du kannst die geränderte Hesse-Matrix dazu verwenden. Wie schon oben bemerkt, wirst du damit keine Aussage treffen können. mY+
24.07.2017, 15:53	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie konntest du die ersten beiden Gleichung auflösen wenn ich fragen darf? Kann sein das ich da was übersehe. Sonst ist der Rest eigentlich klar.
24.07.2017, 18:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multiplikatorssatz von Lagrange $\begin{eqnarray} 2x+\lambda \left(-y\mathrm{e}^{2-xy}+2x+y\right) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4y+\lambda\left(-x\mathrm{e}^{2-xy}+4y+x\right) = 0 \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} 2x = -\lambda \left(-y\mathrm{e}^{2-xy}+2x+y\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4y = -\lambda\left(-x\mathrm{e}^{2-xy}+4y+x\right) \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------- Um eine rationale Lösung zu bekommen, wurde der Exponent 2-xy = 0 gesetzt (auch in Hinblick auf x = 2 und y = 1). Die e-Potenz ist dann 1; aus beiden Gleichungen folgt dann $\begin{eqnarray} \lambda = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x = -\lambda \left(2x\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4y = -\lambda\left(4y\right) \end{eqnarray}$ ---------------------- Entgegen meiner ersten Aussage kann man NICHT daraus folgern, dass allgemein x = 2y, dies gilt gerade für den (gegebenen) Punkt. Es würde allgemein nur dann stimmen, wenn die beiden Terme in den Klammern äquivalent wären, was ich irrtümlich zuerst angenommen habe. Sorry für den Fehler! mY+
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