partielle Diff'barkeit, Richtungsableitung, Diff'barkeit

22.07.2017, 14:15	MaDnezz	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Diff'barkeit, Richtungsableitung, Diff'barkeit Hallo Leute, ich beschäftige mich gerade zur Klausurvorbereitung mit den Themen partielle Diff'barkeit, Richtungsableitungen, totale Differenzierbarkeit etc. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen: Es sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 -> \mathbb{R}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2}{y}, falls (x,y) \neq (0,0)\\0, falls (x,y)=(0,0)\end{cases}$ \end{eqnarray}$ (a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen (sofern sie existieren) (b) Zeigen Sie die Existenz aller Richtungsableitungen und berechnen Sie diese. (c) Ist f in (0,0) differenzierbar? Zu (a): Außerhalb des Nullpunktes ist die partielle Differenzierbarkeit klar, da gebrochen-rationale Funktionen außerhalb ihrer Polstellen stetig und insbesondere partiell differenzierbar sind. Nun zum Nullpunkt: $\begin{eqnarray} D_1f(0,0) = \frac{f((0,0)+(h,0))-f(0,0)}{h}=\frac{f(h,0)}{h}=\frac{h^2}{0h} \end{eqnarray}$ (alles versehen mit dem limes natürlich). Nun wäre meine Folgerung, dass die partielle Ableitung von x im Nullpunkt nicht existiert, weil $\begin{eqnarray} \frac{h}{0} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Ist die Schlussfolgerung richtig, oder habe ich mich irgendwo vertan? Und falls sie richtig ist, warum widerspricht dies nicht der Existenz aller Richtungsableitungen, die ich in (b) zeige? Vielen Dank für Eure Anregungen/Hilfestellungen
22.07.2017, 14:27	MaDnezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist möglicherweise die Aufgabenstellung auch nicht richtig formuliert? Hab nämlich gerade mal die (b) gemacht und dort für die Richtungsableitungen folgendes berechnet: $\begin{eqnarray} D_v f(x,y)=\frac{2xyv_x - x^2v_y}{y^2} \end{eqnarray}$ Dies wäre ja auch nur für $\begin{eqnarray} y \neq 0 \end{eqnarray}$ definiert.
23.07.2017, 14:41	MaDnezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es wirklich niemanden der da was zu sagen kann?

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