Minimum in (0,0)

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PhysX Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum in (0,0)
Hallo ich sitze hier vor dieser Aufgabe und bin mir nicht so ganz sicher wie ich diese Lösen soll
[attach]44945[/attach]

Mein bisheriger Weg:
Hesse-Matrix bestimmen:


bzw.


Dann das Hauptminorenkriterium:



Für a>1 folgt demnach:

Somit ist für a>1 ein Minimum in (0,0)

Ist das den so richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das passt.
Dieses elliptische Paraboloid hat für die angegebenen an besagter Stelle ein globales Minimum.

mY+
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Danke dir!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Fuer ist . Damit ist und damit besitzt es ebenfalls ein Minimum bei 0. Diesmal kein striktes, da die ganze Diagonale ebenfalls minimiert. Das sieht auch die Hesse-Matrix und ist deshalb nur semidefinit.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Ich bin jetzt verwirrt. verwirrt
Dachte so wie ich das gemacht habe wäre das richtig
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Was du gemacht hast ist richtig, Und du hast bis auf 2 Werte alle moeglichen a gefunden. Allerdings ist die Loesung nicht vollststaendig ohne diese. Den einen Wert habe ich dir genannt. Der andere ist noch unbekannt.

Dein Problem ist bei der Rechnung. dass die strikte Definitheit ein Minimum garantiert. Aber es kann bei semi-definitiheit auch eins existieren. D.h. die Werte mit musst du gesondert unstersuchen. Dort koennen Minima sein, muessen aber nicht.
 
 
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Das mit der semi-definitheit haben wir tatsächlich so noch nicht gemacht. Wenn , dann folgt für . Setze ich diese beiden Werte in die Hesse-Matrix und berechne die Eigenwerte, bekomme ich bei beiden raus, dass kein Minimum vorliegt (falls ich es richtig gemacht habe).
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hesse-Matrix kann in den beiden Faellen (fast*) nichts sagen. Du musst dir die Funktion in den Spezialfaellen direkt anschauen und kannst dich nicht auf die zweite Ableitung verlassen. So habe ich vorher argumentiert, warum bei ebenfalls ein Minimum vorliegt.


---
Das (fast*) bedeutet die Hesse-Matrix schliesst gerade aus, dass ein Maximum vorliegt. Ob ein Minimum oder Sattelpunkt vorliegt, kann es jedoch nicht aussagen.
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