Addition unabhängiger Ereignisse

23.07.2017, 12:16

Mr.Ahnungslos

Addition unabhängiger Ereignisse

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes gegeben:
$\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)=P(C)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in (0,\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

A,B,C seien unabhängige Ereignisse!

Welchen Wert hat $\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C)? \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da die unabhängig sind müsste ich die doch eigentlich addieren können! Also einfach $\begin{eqnarray*} x+x+x=3x \end{eqnarray*}$
Aber das erscheint mir irgendwie zu leicht!
Kann jemand helfen?

23.07.2017, 12:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mr.Ahnungslos
Da die unabhängig sind müsste ich die doch eigentlich addieren können!

Da verwechselst du unabhängig mit disjunkt - die von dir genannte Additionseigenschaft gilt für letzteres, i.a. aber nicht für ersteres. unglücklich

Richtiger Ansatz: Es ist

$\begin{align*} P(A\cup B\cup C) = 1-P\left((A\cup B\cup C)^c\right) = 1-P\left(A^c\cap B^c\cap C^c\right) \end{align*}$ .

Und nun kann man nutzen, dass mit $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ unabhängig auch die Komplemente $\begin{align*} A^c,B^c,C^c \end{align*}$ unabhängig sind.

23.07.2017, 15:38

Mr.Ahnungslos

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Bei dem Ansatz komme ich irgendwie nicht weiter!
Aber hilft mir folgende Rechenregel?
$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$
weil damit käme ich auch eine Lösung!

23.07.2017, 15:41

HAL 9000

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Ja klar, man kann auch auf umständlicheren Wegen zum Ziel kommen. Augenzwinkern

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