Lineare Abhängigkeit

23.07.2017, 18:12

Math_2017

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Lineare Abhängigkeit

Meine Frage:
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe zur Linearen Abhängigkeit helfen?

Sei V ein K-VR und seien $\begin{eqnarray*} \left\{v_{1} ,v_{2} ,...,v_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ linear abhängige Vektoren aus V, von denen allerdings n-1 linear unabhängig sind, $\begin{eqnarray*} 2\leq n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich zeigen, dass es $\begin{eqnarray*} \left\{c_{1} ,...,c_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ Skalare aus K gibt mit
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i} *v_{i} =0 , c_{i}\neq 0, \forall i\in \{1,...,n \} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich verstehe leider bei dieser Aufgabe nicht ganz wo ich ansetzen soll bzw. was hier genau gezeigt werden soll.

Die Voraussetzung ist klar, hieraus soll ich ja eben zeigen dass es die $\begin{eqnarray*} \left\{c_{1} ,c_{2} ,...,c_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ mit der oben aufgeführten Eigenschaft gibt, was ja gerade die Definition von Linear Abhängige Vektoren ist.
Meine Überlegung ist, dass ich nun gerade zeigen soll, dass diese Lineare Abhängigkeit für alle Vektoren gilt und nicht nur für einen, da ja die Definition der Lineare Abhängigkeit besagt, dass dies für mindestens einen gelten soll.

Nun weiß ich aber nicht wie ich fortsetzen kann.

Aus der Voraussetzung weiß ich ja nun gerade, dass:

$\begin{eqnarray*} 1) \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} *v_{i} =0, \lambda_{i}\neq 0, i\in\{1,...,n \} \end{eqnarray*}$
also für mindestens einen $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{i=1}^{n-1} \lambda_{i} *v_{i} =0, \lambda_{i}=0, \forall i\in\{1,...,n \} \end{eqnarray*}$

Kann ich was mit diesen beiden Bedingungen anfangen? Und wenn ja wie habe ich fort zu fahren? Wäre um Hilfe dankbar smile

smile

Lieben Gruß!

23.07.2017, 18:45

Helferlein

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Bist Du Dir sicher, dass Du das zeigen sollst oder geht es darum zu entscheiden, ob die Aussage korrekt ist?
Wenn ich nichts übersehen habe lässt sich nämlich ein recht einfaches Gegenbeispiel finden.

23.07.2017, 19:06

Math_2017

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Es handelt sich um eine alte Klausuraufgabe, von daher kann ich leider nicht nachfragen, aber in der Aufgabenstellung steht "Zeige" und nicht "Zeige oder widerlege". Daher bin ich von der Gültigkeit der Aussage ausgegangen. Kann aber so gesehen durchaus eine falsche Aussage sein.

Welches Gegenbeispiel ist dir denn hierfür eingefallen?

23.07.2017, 19:42

Helferlein

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Zum Beispiel enthalten die Mengen $\begin{eqnarray*} \left\{ \binom 10 , \binom 10 , \binom 01 \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{ \binom 10 , \binom 01 , \binom 02 \right\} \end{eqnarray*}$ zwei linear unabhängige Vektoren, der Nullvektor lässt sich aber nicht mit den gewünschten Koeffizienten darstellen.

Allgemein wäre $\begin{eqnarray*} \left\{ e_k, e_k, e_j |~ k\neq j \right\} \end{eqnarray*}$ ein einfaches Gegenbeispiel.

Sollte das "n-1 linear unabhängig" hingegen bedeuten, dass jede n-1-elementige Teilmenge linear unabhängig ist, dann sieht die Sache anders aus.

23.07.2017, 20:41

Math_2017

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Das ist einleuchtend.

Es tut mir sehr leid, habe mich dahingehend tatsächlich zu unpräzise ausgedrückt geschockt

geschockt

In der Aufgabenstellung steht tatsächlich:
"von denen je n-1 linear unabhängig sind", also soll tatsächlich jede n-1-elementige Teilmenge linear unabhängig ist.

Damit habe ich die Aufgabe natürlich entscheidend verfälscht.

Kannst du mir dennoch helfen, wie ich hier vorzugehen habe?

23.07.2017, 21:05

Math_2017

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Eine Menge bei der dies der Fall ist, wäre ja z.B.

$\begin{eqnarray*} \left\{ \binom 10 , \binom 01 , \binom 11 \right\} \end{eqnarray*}$

Dies lässt sich ja für den allgemeinen Fall n größer gleich 2 übertragen

Somit ist diese Aussage ja wahr. Nur weiß ich nicht wie ich hierfür einen Beweis erbringen soll. Bzw. finde dafür keinen passenden Ansatz.

Hier bräuchte ich einen Denkanstoß smile

smile

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24.07.2017, 00:08

Helferlein

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Ich habe es noch nicht vollständig durchdacht, denke aber, dass es so gehen müsste: Nimm einmal an in der Darstellung 1) wäre ein Koeffizient Null und führe das zu einem Widerspruch.

24.07.2017, 22:07

Math_2017

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Die Beweisidee scheint gut zu sein:

Kannst du nochmal drüber gucken, ob ich den Beweis so richtig geführt habe?
Wäre echt super!

$\begin{eqnarray*} <br /> \text{ Sei } J\subset I<br /> \text{ Annahme:}<br /> \text{ Es ex. ein} \thickspace c_{j}\in K \text{ mit } c_{j}=0 \text{ , so gilt:}<br /> <br /> \sum\limits_{i=1,j\neq i}^{n-1} c_{i} *v_{i} + c_{j} *v_{j} =0 \thickspace \text{ mit }\thickspace c_{j} =0 \thickspace \text{ und }\thickspace c_{i}\neq 0 \thickspace \thickspace \forall i\in \left\{1,...,n\right\} <br /> <=><br /> c_{j} *v_{j}= -\sum\limits_{i=1,j\neq i}^{n-1} c_{i} *v_{i} <br /> <=><br /> 0_{v} = -\sum\limits_{i=1}^{n-1} c_{i} *v_{i} \thickspace \thickspace ( \text{,da nach Vor.} c_{j}=0 )<br /> <=><br /> 0_{v} = \sum\limits_{i=1}^{n-1} c_{i} *v_{i} <br /> \Rightarrow c_{i}=0 <br /> \text{ ,da} \sum\limits_{i=1}^{n-1} c_{i} *v_{i} \thickspace \text{ nach Vor. linear unabhängig sein muss.}<br /> <br /> \text{Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass} \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i} *v_{i} \thickspace \thickspace \text{linear abhängig sein soll. Daraus folgt also die Behauptung!}<br /> \end{eqnarray*}$

Ist der Beweis in Ordnung? Oder habe ich was übersehen?

Vielen Dank noch für deinen Tipp smile

smile

25.07.2017, 20:23

Helferlein

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Die Idee ist richtig, aber die Ausführung noch nicht.
Von einigen Formulierungsfehlern abgesehen ist die Schlussfolgerung am Ende völlig falsch. Du hast angenommen es gibt einen Index, dessen Koeffizient null ist und daraus gefolgert, dass dann alle Koeffizienten Null sein müssen. Das ist aber doch kein Widerspruch zur Abhängigkeit.
Du müsstes vielmehr noch zeigen, dass es neben der trivialen Gestalt des Nullvektors eine andere Darstellung geben muss und diese dann zwangsläufig auch die gesuchte Gestalt hat.

Ein paar Anmerkungen zum Formalen:

Wozu sind die Mengen J und I gut? Du benutzt sie doch nirgends.
Warum sollten alle Koeffizienten außer dem j-ten ungleich Null sein? Das ist an der Stelle doch noch gar nicht gesichert.
Wieso taucht in der Darstellung des Nullvektors der j-te Index plötzlich wieder auf?
Eine Linearkombination ist ein Vektor und der soll linear unabhängig sein?

29.07.2017, 20:34

Math_2017

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Hm ok danke für die Anmerkungen.

Zitat:

Wozu sind die Mengen J und I gut? Du benutzt sie doch nirgends.

Ok, stimmt. Ich wollte damit eigentlich nur ersichtlicher machen, dass mein j-ter Vektor noch zu der Menge der Linearkombination gehört und eben kein zusätzlicher ist.

Zitat:

Eine Linearkombination ist ein Vektor und der soll linear unabhängig sein?

Hier meinte ich, wovon du bestimmt auch ausgegangen bist, dass die Linearkombination gleich null gesetzt wird und die daraus resultierte Folgerung über lin. Abhängigkeit /unabh. entscheidet. Tut mir leid, denn das ist so natürlich nicht unbedingt nachvollziehbar und natürlich formal falsch.

Durch deine Anmerkung bin ich jetzt anders dran gegangen und würde gerne nochmal deinen Rat hören, ob das so gelöst werden kann:

29.07.2017, 20:42

Math_2017

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Annahme:
$\begin{eqnarray*} \forall c_{1},...,c_{n}\in K \;\; \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \;\; \sum\limits_{i=1}^{n} c_{i}*v_{i}=0 \;\;\exists i\in \left\{ 1,...,n\right\} \; \end{eqnarray*}$ ,sodass ein $\begin{eqnarray*} \;\;c_{j}=0\; \end{eqnarray*}$ ist

Da die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind, können wir hierfür
ein $\begin{eqnarray*} c_{j} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} i\in \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ wählen: Sei also o.B.d.A $\begin{eqnarray*} c_{1}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2}\neq 0 \;\Rightarrow \; \sum\limits_{i=1}^{n-1} c_{i}*v_{i}=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_{i}\neq0 \end{eqnarray*}$ für mindestens ein $\begin{eqnarray*} c_{j} \end{eqnarray*}$

Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung ist, dass jede n-1-elementige Teilmenge linear unabhängig sein soll.

30.07.2017, 12:19

Math_2017

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Würde mich wirklich sehr über eine Rückmeldung freuen smile

smile

30.07.2017, 18:11

Math_2017

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Liebe(r) Helferlein, ich würde mich wirklich über deinen Rat freuen.
Ich hoffe man kann meine Gedanken nachvollziehen. Ich bin mir da nämlich unsicher und würde mich daher über jeden Rat freuen.

Ich möchte dich hiermit auch absolut nicht bedrängen! Mir ist durchaus bewusst, dass das hier auf Hilfsbereitschaft basiert.

Dennoch möchte ich dich um ein kurze Aussage bitten, ob du mir hierbei noch helfen möchtest?

Wenn ja würde ich mich natürlich sehr freuen, wenn nicht, dann ist das natürlich auch total in Ordnung. Im zweiten Fall würde ich mich dann aber um anderweitige Hilfe kümmern. Im ersten Fall, reicht mir auch ein kurzes "ja, ich guck nochmal drüber", sodass ich bescheid weiß. Muss natürlich dann nicht sofort sein! :-)

30.07.2017, 18:59

Elvis

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Du machst dir das Leben zu schwer, weil du alle Indices durcheinander bringst. Deine Logik erschließt sich mir auch nicht vollständig.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^nc_iv_i=0\wedge \exists j: c_j=0\Rightarrow \sum_{i=1,i\ne j}^nc_iv_i=0\Rightarrow \forall i:c_i=0 \end{eqnarray*}$

Damit ist bewiesen: n l.a. Vektoren, je n-1 l.u., dann gibt es nur 2 Möglichkeiten (1) alle $\begin{eqnarray*} c_i=0 \end{eqnarray*}$ , (2) alle $\begin{eqnarray*} c_i\ne 0 \end{eqnarray*}$ . (1) ist trivial richtig. (2) gibt es nach Voraussetzung.

30.07.2017, 23:37

Math_2017

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Erst einmal vielen Dank Elvis smile

smile

Dieser Beweis ist echt schön kurz. Steckte wohl doch nicht so viel dahinter.

Dennoch möchte ich nochmals kurz fragen, ob ich deinen Beweis auch richtig verstanden habe.

Ich nehme also wieder folgendes an:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{i=1}^nc_iv_i=0\wedge%20\exists%20j:%20c_j=0<br /> \end{eqnarray*}$
Daraus folgt also nun wenn ich diesen c_j herausnehme (also für n-1)

$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow%20\sum_{i=1,i\ne%20j}^nc_iv_i=0<br /> \Rightarrow%20\forall%20i:c_i=0 \end{eqnarray*}$

Die Folgerung dass $\begin{eqnarray*} \forall%20i:c_i=0 \end{eqnarray*}$ gilt, gilt ja nach Voraussetzung, da für n-1 die Vektoren linear unabhängig sein müssen.

Nun habe ich also nur die von dir angegebenen zwei Möglichkeiten, sodass dies erfüllt werden kann. Fall (1) ist klar.
Zu Fall (2) verstehe ich nicht ganz, warum hier zwingend alle $\begin{eqnarray*} c_i\ne%200 \end{eqnarray*}$ sein müssen?

Wahrscheinlich bin ich blind, aber ich sehe es einfach nicht.
Kannst du mir das nochmal kurz erläutern?

30.07.2017, 23:49

Helferlein

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Erstmal sorry, dass ich mich nicht mehr gemeldet habe. Ich war nicht oft am PC und vom Handy zu antworten ist immer etwas umständlich.

Nun zu deiner aktuellen Frage: Man geht doch in der Herleitung von einem $\begin{eqnarray*} c_j=0 \end{eqnarray*}$ aus und folgert dann, dass alle $\begin{eqnarray*} c_i=0 \end{eqnarray*}$ sein müssen. Was aber, wenn kein solcher Index existiert? Dann sind zwangsläufig alle $\begin{eqnarray*} c_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Aufgrund der Linearen Abhängigkeit muss es aber eine Darstellung des Nullvektors geben, bei der nicht alle Koeffizienten Null sind.

31.07.2017, 00:21

Math_2017

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Gar nicht schlimm! Ich hatte nur die Befürchtung, keine Antwort mehr zu bekommen, weil meine Gedanken vielleicht zu unklar waren ;-)

Ich glaub jetzt hab ich es auch verstanden. Das Einzige, was mich in meinen Gedankengängen immer wieder gestört hat, war die Vorstellung, dass (wenn alle Koeffizienten ungleich null sind) es möglich ist, dass bei der n-1 Situation alle Vektoren linear unabhängig sein können. Das wollte/will irgendwie nicht in meinen Kopf.

Vielen Dank aber nochmal für deine Erläuterung :-) Natürlich ebenso an Elvis :-)

31.07.2017, 13:24

Elvis

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Der allgemeinen Logik nach können 3 Möglichkeiten auftreten (1) alle $\begin{eqnarray*} c_i=0 \end{eqnarray*}$ , (2) alle $\begin{eqnarray*} c_i\ne 0 \end{eqnarray*}$ , (3) ein Teil der Koeffizienten 0 und ein anderer Teil nicht 0
Mein formales Beweis-Element schließt den Fall (3) unter den gegebenen Voraussetzungen aus.

Man kann in der Mathematik nicht immer alles
- entweder vollständig in Formeln aufschreiben, denn dann fehlen die erklärenden Worte und Gedanken dazu
- oder vollständig in Worten aufschreiben, denn dann fehlen die prägnanten Formeln und Gedanken dazu
Jeder gute Beweis ist eine allgemeinverständliche Mischung aus Formeln, Logik und Worten.

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