Wurzel ist eine komplexen Zahl

23.07.2017, 18:50	20millionmiles	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel ist eine komplexen Zahl Meine Frage: Weisen Sie nach, dass cos 10° + i * sin 10° eine siebenhundertachtunddreißigste Wurzel aus -1 ist. Meine Ideen: Wie gehe ich da sinnvoll ran? Ich kann schließlich schlecht alle 738 Wurzeln einer komplexen Zahl berechnen.
23.07.2017, 19:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber du könntest $\begin{align} \omega = \cos \left( \frac{\pi}{18} \right) + \operatorname{i} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{18} \right) \end{align}$ in die 738ste Potenz erheben. Wie schnell du zum Ergebnis kommst, hängt davon, was dir alles schon bekannt ist (z.B. Eulersche Formel).
23.07.2017, 19:25	20millionmiles	Auf diesen Beitrag antworten »
Demnach habe ich $\begin{eqnarray} \cos(73810°) + 1\sin(73810°) = -1 + i0 = -1 \end{eqnarray}$ korrekt?
23.07.2017, 21:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt dann, wenn du im zweiten Summand die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ ersetzt (Schreibfehler?) Übrigens ist $\begin{eqnarray} 738 = 18 \cdot 41 \end{eqnarray}$ , daher kann man anstatt mit 738 zunächst mit 18 potenzieren und erhält damit bereits $\begin{eqnarray} (\cos 180° + i \sin 180° = ) \cos \pi + i \sin \pi = -1 \end{eqnarray}$ Letztendlich ist $\begin{eqnarray} (-1)^{41} \end{eqnarray}$ wiederum $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ Ein netter Scherz des Aufgabenstellers, denn bei jedem ungeradzahligen Vielfachen von $\begin{eqnarray} 18 \end{eqnarray}$ im Exponenten ist das Ergebnis $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ Nebenfrage: Was passiert bei geradzahligen Vielfachen von 18? mY+

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