komplexe Differenzierbarkeit

23.07.2017, 19:59

MatheAnfänger475

komplexe Differenzierbarkeit

Hallo, ich beschäftige mich gerade mit komplexer Analysis. Dabei will ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=|z| \end{eqnarray*}$ auf komplexe Diffbarkeit mit folgender Defintion untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z) - f'(z)\cdot h}{h} \end{eqnarray*}$

Ich tue mich aber beim Einsetzen schwer:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{(x+h)^2 + (y+h)^2 }-\sqrt{x^2+y^2} - f'(z)\cdot h}{h} \end{eqnarray*}$

Irgendwie schaut das falsch aus und dann ist die Frage, was ich für f'(z) einsetze. Ich hoffe mir kann jmd helfen Hammer

24.07.2017, 10:02

system-agent

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RE: komplexe Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von MatheAnfänger475
Hallo, ich beschäftige mich gerade mit komplexer Analysis. Dabei will ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=|z| \end{eqnarray*}$ auf komplexe Diffbarkeit mit folgender Defintion untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z) - f'(z)\cdot h}{h} \end{eqnarray*}$

Ich zweifle mal dass dies Eure exakte Definition für komplexe Differenzierbarkeit war, denn darin kommt die Ableitung bereits vor.
Wie auch immer, ist denn die Funktion für reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ differenzierbar?
Bedenke dann, dass der geforderte Grenzwert nur dann existiert, wenn für jede Wahl der Richtung $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stets dasselbe Resultat herauskommt.

24.07.2017, 11:31

MatheAnfänger475

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RE: komplexe Differenzierbarkeit
Es ist nicht reell differnezierbar, also auch nicht komplex. Trotzdem geht es mir um das richtige Einsetzen in die Defintion. Stimmt mein f(z+h)-f(z) so?

24.07.2017, 12:35

system-agent

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Nein, Deine Funktion lautet $\begin{eqnarray*} f(z)=|z| \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f(x+iy)=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ .

Wie ich bereits sagte, man kann nur einsetzen was man hat, also gib doch mal den Wortlaut Eurer Definition.

24.07.2017, 13:01

MatheAnfänger475

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Kann man nicht als z=x+iy darstellen. Wo ist da mein Denkfehler?

Ok nochmal die Def.:

\lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}

Der Grenzwert muss dabei existieren. Wie setze ich richtig ein, wenn das schon mit f(z) falsch ist?

24.07.2017, 13:03

MatheAnfänger475

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \end{eqnarray*}$

Nochmal richtig smile

24.07.2017, 13:33

system-agent

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Zitat:

Original von MatheAnfänger475
Kann man nicht als z=x+iy darstellen. Wo ist da mein Denkfehler?

Das kann man schon, nur es ist hier überflüssig.

Zitat:

Original von MatheAnfänger475
\lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}

Der Grenzwert muss dabei existieren.

So, das sieht nach einer Definition ohne Erklärung aus. Der wichtige, fehlende Zusatz lautet etwa:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst in $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ differenzierbar, falls obiger Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \mathbb C\ni h\to0 \end{eqnarray*}$ existiert.

Nun kannst Du also diskutieren, für welche Punkte $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ Deine Funktion komplex differenzierbar ist. [Edit: FOLGENDES WAR FALSCH] Übrigens gilt, wie im Reellen auch, dass Deine Funktion überall komplex differenzierbar ist abgesehen vom Nullpunkt.

24.07.2017, 13:53

MatheAnfänger475

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Also wenn ich es in die Def. einsetze, dann steht im Zähler |z+h|-|z|
Wie kann man dazs vereinfachen?

24.07.2017, 14:18

system-agent

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Erstmal garnicht. Aber falls Du zeigen willst, dass Deine Funktion in $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist, dann setze $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ein. [Edit: FOLGENDES WAR FALSCH] Falls Du zeigen willst, dass Deine Funktion für $\begin{eqnarray*} z\neq0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, schätze den ersten Term mit der Dreiecksungleichung ab.

24.07.2017, 14:54

MatheAnfänger475

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Also für z=0 ist es klar.
Für den anderen Fall ist |z+h|<= |z|+|h|
Warum darf ich das überhaupt machen und wie sieht es dann formal.korrekt aus?

24.07.2017, 17:17

005

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Zitat:

Original von system-agent
Übrigens gilt, wie im Reellen auch, dass Deine Funktion überall komplex differenzierbar ist abgesehen vom Nullpunkt.

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{x^2+y^2}+0\cdot i \end{eqnarray*}$

Man sieht, dass die Cauchy-Riemannschen Dglen nirgends erfuellt sind.

24.07.2017, 19:59

MatheAnfänger475

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Danke aber wie würde der Ansatz der Dreiecksungleichung funktionieren?

24.07.2017, 22:30

005

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M.E. gar nicht.

25.07.2017, 08:33

system-agent

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005 hat Recht, die Funktion ist tatsächlich nirgends komplex differenzierbar, entschuldige bitte. Ich editiere das oben.

Wenn Du die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nicht verwenden willst, könntest Du wie folgt vorgehen:
Annahme, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre doch komplex differenzierbar. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} g(z):=f(z)^2=z\overline{z} \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar. Betrachte dann den Differentialquotient und zeige dass dieser nicht existiert, was einen Widerspruch bringt, denn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{\overline{h}}{h} \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

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