Komplexe Gleichungen lösen

24.07.2017, 00:22

MB2

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Komplexe Gleichungen lösen

Hallo, schreibe bald eine Klausur und da müsste ich komplexe Zahlen können und habe noch VErständnisprobleme bei diesen zwei konkereten Beispielen:

1. Aufgabe
$\begin{eqnarray*} z^{2}- 2zj+1 = 0<br /> <br /> z_{1/2}=-1j\pm\sqrt{(1j)^2-1} <br /> <br /> z_{1/2}=-1j\pm\sqrt{-1-1} \end{eqnarray*}$

Kann ich das hier so machen? j^2=-1. Falls ja, wäre der Rest kein Problem.

2. Aufgabe
$\begin{eqnarray*} z^{3}+8 = 0 \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten

Betrag wäre ja

$\begin{eqnarray*} | z | =| \sqrt{a^2+b^2} | \end{eqnarray*}$

und der Winkel:

$\begin{eqnarray*} \gamma =tan^-1(\frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$

Nur wäre b=0, oder? Muss ich dann mit 0 weiterrechnen oder bin ich völlig auf dem falschen Dampfer?

Wäre super, wenn sich einer melden würde.

Danke

24.07.2017, 00:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von MB2
$\begin{eqnarray*} z^{2}- 2zj+1 = 0<br /> <br /> z_{1/2}=-1j\pm\sqrt{(1j)^2-1} \end{eqnarray*}$

Vorzeichen vergessen! Richtig ist hier $\begin{eqnarray*} z_{1/2} = {\color{red}-}(-1j)\pm\sqrt{(1j)^2-1} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MB2
und der Winkel:

$\begin{eqnarray*} \gamma =tan^-1(\frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$

Falls es um die Polardarstellung $\begin{align*} |z|\cdot e^{i\gamma} \end{align*}$ von $\begin{align*} z=a+bi \end{align*}$ gilt: Die Darstellung des Winkels $\begin{align*} \gamma = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \end{align*}$ gilt nur im ersten und vierten Quadranten, d.h., für Realteil $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ . Im vorliegenden Fall $\begin{align*} z=-8 \end{align*}$ ist $\begin{align*} a=-8 \end{align*}$ und $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ , und damit diese Formel nicht anwendbar. Schau bitte in deinen Unterlagen (oder wo auch immer sonst) nach, wie das im zweiten und dritten Quadranten zu handhaben ist!

24.07.2017, 10:34

MB92

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Oh, ja: also richtig wäre dann:

$\begin{eqnarray*} z_{1/2} =1j\pm \sqrt{(1j)^2-1} \end{eqnarray*}$

Mir gehts jetzt um das Auflösen in der Klammer: i²=-1

Kann ich dann einfach:

$\begin{eqnarray*} z_{1/2} =1j\pm \sqrt{-1-1} \end{eqnarray*}$

schreiben oder muss ich was beachten?

Und für die zweite Aufgabenstellung schaue ich nochmal nach, danke für den Hinweis.

24.07.2017, 10:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von MB92
Kann ich dann einfach:

$\begin{eqnarray*} z_{1/2} =1j\pm \sqrt{-1-1} \end{eqnarray*}$

schreiben oder muss ich was beachten?

Nun ja, ich würde aus der $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1-1} \end{eqnarray*}$ noch ein $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 j \end{eqnarray*}$ machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.07.2017, 11:43

MB92

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Ja, wäre der nächste Schritt. War mir nur unsicher, ob ich das so auflösen kann, weil es mir zu einfach vorkam xD

Dann nochmal zu der Aufgabe zurück:

$\begin{eqnarray*} z^{3}+8=0 \end{eqnarray*}$

in Polarform angeben. Wenn ich die einzeichnen möchte, dann liegt die weder im 2., noch im 3. Quadranten, da b=0 ist. Komme da gar nicht voran, könntet ihr mir da Tipps geben.

24.07.2017, 11:54

klarsoweit

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Also -8 in die Exponentialdarstellung zu bringen, kann ja wohl kein Problem sein. Welchen Winkel hat denn die Zahl -8 + 0*i ?

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24.07.2017, 12:16

MB92

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So, habe folgenden Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} | z^{3} | = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma =tan^-1(\frac{b}{|a| } )+\pi =\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{3} =8*e^{\pi*j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z =\sqrt[3]{8} *\sqrt[3]{e^{\pi *j} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1} =2*e^{\frac{\pi}{3}*j } \end{eqnarray*}$

und bei z2 wäre Phi=1/3pi+(2pi/3), korrekt? Big Laugh

Big Laugh

24.07.2017, 12:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von MB92
und bei z2 wäre Phi=1/3pi+(2pi/3), korrekt? Big Laugh

Big Laugh

Ja, und das kann (und sollte!) man natürlich noch vereinfachen zu $\begin{align*} z_2=-2 \end{align*}$ .

24.07.2017, 12:44

MB92

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warum z2=-2?

z2 wäre doch =2*e^pi*j ? (1/3Pi+2/3pi=pi)

24.07.2017, 14:12

mYthos

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War sicher nur ein Schreibfehler, gemeint war $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ ..

mY+

24.07.2017, 14:33

MB92

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Verstehe, habe ich nicht nachgerechnet,

Auf jeden Fall habt ihr mir sehr weitergeholfen, danke dafür.

Liebe Grüße

24.07.2017, 16:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von MB92 (nur fehlende Klammern im Exponenten ergänzt)
z2 wäre doch =2*e^{pi*j} ?

Das ist (!) dasselbe wie $\begin{align*} z_2=-2 \end{align*}$ . Offenkundig musst du das mit der Exponentialdarstellung noch etwas üben, wenn du das nicht erkennst. unglücklich

unglücklich

24.07.2017, 18:26

mYthos

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Es hat sich bei meiner Antwort um diesen Abschnitt gehandelt:

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von MB92
und bei z2 wäre Phi=1/3pi+(2pi/3), korrekt? Big Laugh

Big Laugh

Ja, und das kann (und sollte!) man natürlich noch vereinfachen zu $\begin{align*} z_2=-2 \end{align*}$ .

mY+

24.07.2017, 19:32

HAL 9000

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Ich verstehe den Sinn dieser dauernden Einwürfe nicht: Es gibt doch keine gesetzmäßig festgelegte Reihenfolge der drei komplexen Wurzeln. Wenn MB92 $\begin{align*} 2\cdot e^{j\pi} \end{align*}$ als zweite dieser drei Wurzeln ansieht, dann ist doch nichts dagegen einzuwenden. Erstaunt1

Erstaunt1

24.07.2017, 20:10

mYthos

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Welche dauernden Einwürfe?
Du missversteht das jetzt. Das sind keine Einwürfe und es gibt auch keine festgelegte Reihenfolge, richtig.
Ich habe mich lediglich auf dein Zitat, in welchem du wiederum MB92 zitierst, bezogen.
Bei diesem war der Winkel pi/3 eben dem zweiten Zeiger zugeordnet.
Dass sich MB92 dann wundert, weshalb z2 = -2 sein sollte, ist doch ganz folgerichtig.
Lies doch bitte nochmals das Zitat in meinem vorigen Beitrag.

mY+

24.07.2017, 20:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Bei diesem war der Winkel pi/3 eben dem zweiten Zeiger zugeordnet.

Nein, das sehe ich anders:

Zitat:

Original von MB92
$\begin{eqnarray*} z_{1} =2*e^{\frac{\pi}{3}*j } \end{eqnarray*}$

und bei z2 wäre Phi=1/3pi+(2pi/3), korrekt? Big Laugh

Big Laugh

Aus diesem Abschnitt lese ich eindeutig, dass Argument $\begin{align*} \frac{\pi}{3} \end{align*}$ der ersten Wurzel $\begin{align*} z_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3} \end{align*}$ der zweiten Wurzel $\begin{align*} z_2 \end{align*}$ zugeordnet werden soll.

Ich betrachte die Angelegenheit dann hoffentlich endlich für erledigt.

24.07.2017, 20:27

Leopold

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Einmal grundsätzlich.
Mich ärgert es prinzipiell, wenn eine Variable plötzlich einen Index bekommt. Ich halte das für eine Unsitte, die dem Bedürfnis entspricht, die Lösungen einer Gleichung eindeutig durchzunumerieren. Eine Variable ist eine Variable. Und solange sie nicht substituiert wird (was übrigens auch deutlich hervorzuheben ist), heißt sie immer gleich und muß in jeder Zeile des Lösungsvorgangs auftreten. Ich bringe es meinen Schülern so bei (unsere Grundmenge ist $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ ):

$\begin{align*} 2x^2 - 7x + 3 = 0 \end{align*}$

Erst die Diskriminante ausrechnen: $\begin{align*} D = 25 \end{align*}$

Dann die Lösungsformel anwenden:

$\begin{align*} x = \frac{7 \pm 5}{4} \end{align*}$

Und die nächste Zeile sieht so aus:

$\begin{align*} x = 3 \ \ \text{oder} \ \ x = \frac{1}{2} \end{align*}$

Das ist nämlich die korrekte Boolesche Operation: das "oder". Der Sinn ist, daß alle Zeilen äquivalente Aussageformen darstellen.

Ich gebe allerdings zu, daß ich mit meinem Bemühen, da eine stringente Logik hineinzubringen, ziemlich erfolglos bin. Denn wenn die Schüler aus der Nachhilfe oder vom Kollegen kommen, es in Büchern lesen oder im MatheBoard Augenzwinkern

Augenzwinkern

so vorgemacht bekommen, dann steht halt doch da:

$\begin{align*} x_{1/2} = \frac{7 \pm 5}{4} \end{align*}$

$\begin{align*} x_1 = 3 \, , \ x_2 = \frac{1}{2} \end{align*}$

Und irgendwann gebe ich dann auf und akzeptiere den ganzen logischen Krampf.
Wenn überhaupt, müßte man es im Beispiel so machen:

$\begin{align*} x = x_1 = 3 \ \ \text{oder} \ \ x = x_2 = \frac{1}{2} \end{align*}$

Hier sind also $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ keine Variablen, sondern ad-hoc-Konstanten für den vorläufigen Gebrauch zur Benennung der beiden Lösungszahlen.

Jetzt wird mancher sagen: "Wenn alle es so machen, nur Leopold nicht, dann sollte der Leopold sich mal überlegen, ob er vielleicht falsch liegt." Aber irgendwie habe ich das Gefühl, daß die Logik auf meiner Seite steht ...

24.07.2017, 20:32

mYthos

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@HAL
Ja, ist erledigt.
Ich bin das nochmals durchgegangen, stimmt, ich hatte das falsch interpretiert.
Es war ja auch ein wenig diffus das Ganze.

mY+

24.07.2017, 21:27

Dopap

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Zitat:

Original von Leopold
[...]
Und die nächste Zeile sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} x = 3 \ \ \text{oder} \ \ x = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist nämlich die korrekte Boolesche Operation: das "oder". Der Sinn ist, daß alle Zeilen äquivalente Aussageformen darstellen. [...]

mmh... dann kann man auch $\begin{eqnarray*} x=3\, \lor \, x= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Auf der sicheren Seite ist man durch Angabe der Lösungsmenge einer Aussageform.

25.07.2017, 08:23

Leopold

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Zitat:

Original von Dopap
mmh... dann kann man auch $\begin{eqnarray*} x=3\, \lor \, x= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Das geht natürlich auch. Ich selbst vermeide "logische Haken" außerhalb der eigentlichen Logik und Mengenlehre. (Nur bei höchst komplexen Aussagen mit vielen Quantoren, wie sie etwa in der Topologie auftreten können, kann es einmal sein, daß ich diese Selbstverpflichtung nicht einhalte.)

25.07.2017, 10:54

Dopap

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Das \lor ist im Hausgebrauch eben schneller als das \text{oder}.
Zudem ist es das Nichtausschließende "oder"

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