Grenzwert ausrechnen

24.07.2017, 11:02

Partialius

Grenzwert ausrechnen

Moin,

muss diesen Grenwert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt} - e^{at}) -1 }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(e^{bt} - e^{at}) - (b-a)t }{(b-a)t^2} \end{eqnarray*}$

Zweimaliger L'Hopital führt auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{b^2 e^{bt} - a^2 e^{at} }{2(b-a)} = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{b+a}{2} \end{eqnarray*}$

Lustigerwesise gibt Wolfram als Lösung +-unendlich raus. Wenn ich die Funktion plotte und Werte nah der 0 im Taschenrechner anschaue geht es tatsächlich gegen unendlich. Was ist jetzt richtig?

Laut Wolfram wird so gelöst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt} - e^{at}) -1 }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt} - e^{at})}{t} - \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{bt} - e^{at}}{(b-a)t^2} - \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Den ersten limes kriegt man wieder mit LHopital. Und der zweite ist bekanntermaßen eine Hyperbel - je nachdem wie man sich nähert eben +- unendlich und damit der komplette Grenzwert nicht existent.

Meiner Meinung ist die Umformung bei Wolfram nicht erlaubt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt} - e^{at}) -1 }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt} - e^{at})}{t} - \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Es scheitert wohl hier. Die Grenzwertsätze dürfen nur bei KONVERGENTEN Folgen angewandt werden... oder wie ist das jetzt lol

24.07.2017, 11:10

klarsoweit

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RE: Grenzwert ausrechnen

Zitat:

Original von Partialius
Es scheitert wohl hier. Die Grenzwertsätze dürfen nur bei KONVERGENTEN Folgen angewandt werden.

Das ist richtig. Mir ist jetzt auch nicht klar, was da Wolfram gemacht hat. verwirrt

Zitat:

Original von Partialius
Laut Wolfram wird so gelöst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt} - e^{at}) -1 }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt} - e^{at})}{t} - \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{bt} - e^{at}}{(b-a)t^2} - \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Den ersten limes kriegt man wieder mit LHopital.

Hm. $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{e^{bt} - e^{at}}{(b-a)t^2} \end{eqnarray*}$ geht jetzt nicht mit l'Hospital.

24.07.2017, 12:26

Partialius

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und wieso geht es nicht mit L'Hopital? Es ist doch der Fall 0/0 und beides differenzierbar.

24.07.2017, 12:31

klarsoweit

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RE: Grenzwert ausrechnen
Ja, aber was ist dann mit $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{be^{bt} - ae^{at}}{2(b-a)t} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

24.07.2017, 12:40

Partialius

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ach verdammt stimmt. Ja dann wäre das also zunächst 1. malige Anwendung von L'Hopital und nun könnte man die Reihendarstellung von exp verwenden um den Grenzwert zu berechnen? Darf man da eigentlich so kombinieren und erst mal L'Hopital anwenden und dann mit einer anderen Methode fortfahren?

24.07.2017, 13:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Partialius
Darf man da eigentlich so kombinieren und erst mal L'Hopital anwenden und dann mit einer anderen Methode fortfahren?

Im Prinzip ja, aber was sollte das bringen? Wenn es mit l'Hospital nicht geht, ist die Wahrscheinlichkeit groß, daß es mit einem anderen Weg auch nicht funktioniert.

Zitat:

Original von Partialius
und nun könnte man die Reihendarstellung von exp verwenden um den Grenzwert zu berechnen?

Und was soll das bringen. Man sieht auch so, daß das für b ungleich a divergiert. smile

24.07.2017, 13:22

HAL 9000

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@Partialius

Deine Rechnung ganz am Anfang des Threads (d.h. vor dieser falschen Differenzaufsplittung) ist doch korrekt, zumindest für alle $\begin{align*} a\neq b \end{align*}$ . Und du hast dich nun durch Wolfram sowie

Zitat:

Original von Partialius
Wenn ich die Funktion plotte und Werte nah der 0 im Taschenrechner anschaue geht es tatsächlich gegen unendlich.

verunsichern lassen? Zeig doch mal den Plot. Augenzwinkern

24.07.2017, 14:22

Partialius

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Also ich versteht jetzt überhaupt nichts mehr. Laut Musterlösung sollte dieser Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ sein.

Ich muss etwas weiter ausholen.
Es handelt sich bei der Aufgabe um die Ableitung der folgenden Funktion im Punkt t=0:

$\begin{eqnarray*} M_x(t) = \begin{cases} \frac{1}{(b-a)t} (e^{bt}-e^{at}) & t \neq 0 \\ 1 & t=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dies ist die Momenterzeugenden Funktion der Gleichverteilung im Intervall [a,b].
Der Erwartungswert entspricht $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} M_x(t)|_{t=0} = M_x'(0) \end{eqnarray*}$ .

Mit dem Differenzenquotienten folgt:

$\begin{eqnarray*} E(X) = M_x'(0) = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{(b-a)t} (e^{bt}-e^{at})-1}{t} \end{eqnarray*}$

und der Erwartungswert ist bekannterweise $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ .

Mir ist schon klar, dass es wesentlich einfacher ist den Erwartungswert über die klassische Formel mit dem Integral zu berechnen, aber in der Aufgabe soll es eben explizit mit der Momenterzeugenden Funktion getan werden.

24.07.2017, 14:30

Partialius

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Das soll natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$ lauten oben!

24.07.2017, 15:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Partialius
Also ich versteht jetzt überhaupt nichts mehr. Laut Musterlösung sollte dieser Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ sein.

Ist er ja auch. Das hast du doch selber ausgerechnet.

24.07.2017, 17:49

Partialius

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Ja stimmt

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