Gütefunktion

24.07.2017, 11:06

WI-Girl

Gütefunktion

Meine Frage:
Hallo,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Gegeben sind u.i.v. Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{20} \end{eqnarray*}$ , die jeweils Binomial B(1, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )-verteilt sind mit $\begin{eqnarray*} \pi\in \left\{ 0;1\right\} \end{eqnarray*}$ . Es werden vier verschiedene Tests $\begin{eqnarray*} d_{1},...d_{4} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Prüfgröße ist $\begin{eqnarray*} T(X)=X_{1}+...+X_{20} \end{eqnarray*}$ und Annahmebereiche sind jeweils:
$\begin{eqnarray*} A_{1}=\left\{4, 5, 6, 7, 8\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2=\left\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_3=\left\{0, 1,..., 10\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_4=\left\{6, 7,...20\right\} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} d_{k}\left(X\right)=0, falls T\left(X\right)\in A_{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_{k}\left(X\right)=1, falls T\left(X\right)nicht \in A_{k} \end{eqnarray*}$

Wir sollen jetzt die konkreten Funktionsterme der Gütefunktionen der vier Tests angeben.
Vielen Dank schon mal im Voraus smile

Meine Ideen:

24.07.2017, 12:41

HAL 9000

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Als ersten Schritt könntest du ja mal die Verteilung von $\begin{align*} T(X) \end{align*}$ ergründen.

24.07.2017, 12:50

WI-Girl

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Da die Zufallsvariablen Binomialverteilt sind, müsste T(x) dann ja auch Binomialverteilt sein, nur mit anderen Parametern?

24.07.2017, 12:53

HAL 9000

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Genau: Es gilt schlicht und einfach $\begin{align*} T(X)\sim B(20,\pi) \end{align*}$ .

Gütefunktion des Tests $\begin{align*} k \end{align*}$ ist nun einfach $\begin{align*} E[d_k(X)] = P(d_k(X)=1) = P(T(X)\not\in A_k) \end{align*}$ .

24.07.2017, 13:13

WI-Girl

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Also rechne ich dann über den Erwartungswert der Tests?

24.07.2017, 13:27

HAL 9000

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Bitte stelle die Frage präziser. Mit "Erwartungswert der Tests" kann ich nichts anfangen.

24.07.2017, 13:58

WI-Girl

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Ich verstehe noch nicht genau, wie ich $\begin{eqnarray*} P\left(T nicht\in A_{k}\right) \end{eqnarray*}$ berechne. Wahrscheinlich Mit dem kritischen Bereich K, $\begin{eqnarray*} P\left(T \in K_{k}\right) \end{eqnarray*}$ ?

24.07.2017, 16:55

HAL 9000

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$\begin{align*} Y=T(X) \end{align*}$ ist binomialverteilt. Und $\begin{align*} A_k \end{align*}$ ist eine Menge von Werten, die diese Binomialverteilung annehmen kann. Du kannst doch Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung berechnen, oder?

Beispiel: $\begin{align*} P(Y\not\in A_4) = P(Y\not\in \{6,7,\ldots,20\}) = P(Y\in \{0,1,\ldots,5\}) = P(Y\leq 5) \end{align*}$

24.07.2017, 17:02

SHigh

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Wir sollten vielleicht zunächst noch klären, ob mit

Zitat:

Gegeben sind u.i.v. Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{20} \end{eqnarray*}$ , die jeweils Binomial B(1, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )-verteilt sind mit $\begin{eqnarray*} \pi\in \left\{ 0;1\right\} \end{eqnarray*}$

nicht doch eher

... sind mit $\begin{eqnarray*} \pi\in (0,1) \end{eqnarray*}$

gemeint ist. Ansonsten ist man recht schnell fertig.

24.07.2017, 17:04

HAL 9000

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Oh, das hatte ich sowieso als (0,1) gelesen, weil {0,1} irgendwie absurd einfach ist. Augenzwinkern

24.07.2017, 17:18

SHigh

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Ich erinnere mich an eine ähnliche Aufgabe, die bei mir mal in einem Multiple-Choice-Teil einer Stochastikklausur dran war. Es war eine $\begin{eqnarray*} \mathcal B(n,1) \end{eqnarray*}$ -Verteilung gegeben, allerdings wurden dort auch nur 2 Minuten für die Aufgabe kalkuliert.

Ach ja, und Glückwunsch zu > 20k Beiträgen smile

24.07.2017, 17:38

WI-Girl

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Inzwischen bin ich auch drauf gekommen, wie ich das berechne. Stand wohl zwischenzeitlich etwas auf dem Schlauch....Vielen Dank für die Hilfe smile

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