Lösung z(x) einer DGL bestimmen

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24.07.2017, 17:49	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung z(x) einer DGL bestimmen Meine Frage: hallo ich habe ein mathe problem. Die aufgabe lautet: Bestimmen sie die lösung z(x) der DGL z'(x)=z(x)/(x^2+1) zum anfangswert z(0)=2. ich habe es versucht aber bekomme als ergebnis z(x)=2arctan(x) und das ist leider falsch. Das richtige ist z(x)=2e^arctan(x) kann mir das einer bitte erklären^^ Meine Ideen:* für z(x) einfach 2 eingesetzt und aufgeleitet
24.07.2017, 18:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee vergiss lieber gleich wieder (weil das so nichts bringt). z(0)=2 ist ein Randpunkt (Randwert), dieser wird erst in die allgemeine Lösung zur Bestimmung der Konstanten eingesetzt. Und statt aufleiten sagen wir lieber integrieren, ja? Gehe den Weg über die Trennung der Variablen: $\begin{eqnarray} \frac {z'} z = \frac 1 {x^2 + 1} \end{eqnarray}$ Kommst du damit weiter? mY+
24.07.2017, 19:16	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nein, könntest du mir die Schritte erklären und ich versuche es zu rechnen?
24.07.2017, 20:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt beide Seiten integrieren! Auf einer Seite kommt die Integrationskonstante dazu: $\begin{eqnarray} \ln z = \arctan x + c_1 \end{eqnarray}$ Bisher klar? Der nächste Schritt ist, beide Seiten zur e-Potenz zu erheben, damit folgt aus dem Logarithmus die gesuchte Funktion z(x). Und $\begin{eqnarray} e^{c_1} \end{eqnarray}$ solltest du $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ setzen. Dann kannst du dich daran machen, diese Konstante $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ mittels der Bedingung $\begin{eqnarray} z(0) = 2 \end{eqnarray}$ zu bestimmen. mY+
24.07.2017, 21:40	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich beide Seiten mit e erhebe dann habe ich also z(x) =e^arctan(x) + e^c, muss ich jetzt mit der Bedingung z(0)=2 die. Konstante c heraudfinden
24.07.2017, 22:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist falsch. Beim Potenzieren wird nach den Potenz- bzw. Logarithmengesetzen aus dem $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ , nicht wahr? Und $\begin{eqnarray} e^{c_1} \end{eqnarray}$ kannst/solltest du mit $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ bezeichnen. Somit ist $\begin{eqnarray} z(x) = c \cdot e^{\arctan x} \end{eqnarray}$ Auf Grund der gegebenen Anfangsbedingung setzt du nun dort für x = 0 und z = 2 ein und berechnest damit $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . mY+
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24.07.2017, 23:11	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt c=2 Also z=2*e^arctan(x) Okey ich habe es verstanden. Ich bedanke mich bei Ihnen!
24.07.2017, 23:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es! mY+
25.07.2017, 15:50	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eine andere aufgabe versucht aber komme leider nicht aufs ergebnis... es sollte -e^-x stehen aber ich weiß nicht wie ich das machen soll^^ $\begin{eqnarray} y'(x)/4=-e^-x y(x)^2 \end{eqnarray}$ y(0)= -1/4 1. Schritt: Ich habe 4 gemacht und y(x)^2 auf die linke seite gebracht also $\begin{eqnarray} y'(x)/(y(x)^2)=-16e^-x \end{eqnarray}$ 2. Schritt: y'(x) mit dy/dx ersetzt. $\begin{eqnarray} 1/y(x)^2dy=-16e^-xdx \end{eqnarray}$ 3. Schritt: beide seiten integrieren. $\begin{eqnarray} -1/y=16e^-x+c \end{eqnarray}$ 4. Schritt: y auf eine seite bringen. $\begin{eqnarray} y= - 1/(16e^-x+c) \end{eqnarray}$ 5. Schritt: für x 0 einsetzen und y -1/4 und damit c ausrechnen. Ich kriege für c=5 Also sollte das Ergebnis $\begin{eqnarray} y(x)=-1/(16e^-x+5) \end{eqnarray}$ sein aber das richtige ist $\begin{eqnarray} y(x)=-e^x/4 \end{eqnarray*}$ ....... Wo liegt mein fehler, danke im voraus.
25.07.2017, 15:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie ist die Multiplikation mit 4 deutlich schief gegangen.
25.07.2017, 15:58	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe $\begin{eqnarray} y'/4y^2=-4e^-x \end{eqnarray}$ und habe dann mal 4 gemacht damit y'/y^2 steht EDIT : ah ne habs erkannt hahaha das mit der multiplikation von 4 hab ich was falsch gemacht. also es sollte dann $\begin{eqnarray} y(x)=-1/(4e^(-x) +c) \end{eqnarray}$
25.07.2017, 16:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
In der urspruenglichen Gleichung steht rechts keine 4. Woher kommt die?
25.07.2017, 16:14	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hab da ein fehler gemacht mit der 4...
25.07.2017, 16:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil du gerade alles schön in LaTeX schreibst: LaTeX benutzt { } als interne Klammerungen. D.h. e^{-x} wird interpretiert als $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ . Ebenso wird \frac{Zaehler}{Nenner} interpretiert als $\begin{eqnarray} \frac{Zaehler}{Nenner} \end{eqnarray}$ . D.h. das in den geschweiften Klammern wird als ein grosses Objekt betrachtet.
25.07.2017, 17:04	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ okey danke also mein ergebnis ist $\begin{eqnarray} y(x)= \frac{-1}{4e^{-x}+5} \end{eqnarray}$ aber das richtige ergebnis ist $\begin{eqnarray} y(x)= \frac{-e^x}{4} \end{eqnarray*}$ kann mir das einer klären,bitte?
25.07.2017, 17:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast vergessen die Konstante neu zu bestimmen. Jetzt kommt $\begin{eqnarray} c= 0 \end{eqnarray}$ heraus. Und dann bekommt man nach einer kleinen Umformung die Musterloesung.
25.07.2017, 18:30	kenny1996121212	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y=-\frac{1}{4e^{-x}+c} \end{eqnarray}$ wenn ich hier jetzt für y=-1/4 und x=0 einsetze um die konstante c zu bestimmen dann bekomme ich doch c=5? $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4}=\frac{-1}{4e^{-0}+c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4}=\frac{-1}{-4+c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4}(-4+c)=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{4}c=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4}c=-2<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=8 \end{eqnarray*}$ wo hab ich ein fehler gemacht? EDIT: AHH ICH HAB MEIN FEHLER
25.07.2017, 21:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe das nächste Mal bitte eine neue Aufgabe auch in einen neuen Thread! mY+

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