uneigentliches Integral per Substitution

24.07.2017, 21:13	Bamana	Auf diesen Beitrag antworten »
uneigentliches Integral per Substitution Abend, ich habe noch nicht ganz verstanden, wie ich beim uneigentlichen Integral die Grenzen substituieren muss. $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! x e^{x^2} dx \end{eqnarray}$ Mit der Sub: $\begin{eqnarray} u = x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx = \frac{du}{2x} \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot \lim_{r \to -\infty} \lim_{s \to \infty}\int_{r}^{s} \! e^u du \end{eqnarray}$ wie muss ich die Grenzen hier nun korrekt substituieren? Normalerweise würde ich einfach die alte Grenze in $\begin{eqnarray} u = x^2 \end{eqnarray}$ für x einsetzen und dann ablesen.
25.07.2017, 07:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwar gilt für jedes $\begin{align} a \geq 0 \end{align}$ : $\begin{align} \int_{-a}^a x \operatorname{e}^{x^2} \! \dd x \ = \ 0 \end{align}$ denn der Integrand stellt eine ungerade Funktion dar (und bei deiner Substitution werden hier obere und untere Grenze zu $\begin{align} u = a^2 \end{align}$ , was das ebenfalls zeigt). Man muß aber die Grenzübergänge entkoppeln, also etwa $\begin{align} \int_0^b x \operatorname{e}^{x^2} \! \dd x \end{align}$ für $\begin{align} b \to \infty \end{align}$ und $\begin{align} \int_a^0 x \operatorname{e}^{x^2} \! \dd x \end{align}$ für $\begin{align} a \to - \infty \end{align}$ getrennt untersuchen. Und der Integrand ist in beide Richtungen unbeschränkt. Kurzum - beide Integrale sind divergent. Wenn du formal deine Substitution durchziehst, mußt du $\begin{align} \frac{1}{2} \int_r^s \operatorname{e}^x \dd x \end{align}$ für $\begin{align} r \to \infty \end{align}$ und $\begin{align} s \to \infty \end{align}$ betrachten. Es wäre jedoch ein Fehlschluß, daß sich im Grenzübergang der Wert 0 ergibt. Das Ganze führt auf den unbestimmten Ausdruck $\begin{align} \infty - \infty \end{align}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »